ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrpig GIF version

Theorem distrpig 6489
Description: Multiplication of positive integers is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrpig ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)))

Proof of Theorem distrpig
StepHypRef Expression
1 pinn 6465 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 6465 . . 3 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 pinn 6465 . . 3 (𝐶N𝐶 ∈ ω)
4 nndi 6096 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ·𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) +𝑜 (𝐴 ·𝑜 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3an 1188 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 ·𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) +𝑜 (𝐴 ·𝑜 𝐶)))
6 addclpi 6483 . . . . 5 ((𝐵N𝐶N) → (𝐵 +N 𝐶) ∈ N)
7 mulpiord 6473 . . . . 5 ((𝐴N ∧ (𝐵 +N 𝐶) ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 +N 𝐶)))
86, 7sylan2 274 . . . 4 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 +N 𝐶)))
9 addpiord 6472 . . . . . 6 ((𝐵N𝐶N) → (𝐵 +N 𝐶) = (𝐵 +𝑜 𝐶))
109oveq2d 5556 . . . . 5 ((𝐵N𝐶N) → (𝐴 ·𝑜 (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
1110adantl 266 . . . 4 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 ·𝑜 (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
128, 11eqtrd 2088 . . 3 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
13123impb 1111 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 +𝑜 𝐶)))
14 mulclpi 6484 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
15 mulclpi 6484 . . . . 5 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N)
16 addpiord 6472 . . . . 5 (((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +𝑜 (𝐴 ·N 𝐶)))
1714, 15, 16syl2an 277 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐴N𝐶N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +𝑜 (𝐴 ·N 𝐶)))
18 mulpiord 6473 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))
19 mulpiord 6473 . . . . 5 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 ·N 𝐶) = (𝐴 ·𝑜 𝐶))
2018, 19oveqan12d 5559 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐴N𝐶N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) +𝑜 (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) +𝑜 (𝐴 ·𝑜 𝐶)))
2117, 20eqtrd 2088 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐴N𝐶N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) +𝑜 (𝐴 ·𝑜 𝐶)))
22213impdi 1201 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) +𝑜 (𝐴 ·𝑜 𝐶)))
235, 13, 223eqtr4d 2098 1 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  ωcom 4341  (class class class)co 5540   +𝑜 coa 6029   ·𝑜 comu 6030  Ncnpi 6428   +N cpli 6429   ·N cmi 6430
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462
This theorem is referenced by:  addcmpblnq  6523  addassnqg  6538  distrnqg  6543  ltanqg  6556  ltexnqq  6564
  Copyright terms: Public domain W3C validator