Theorem div2negap 7663

Description: Quotient of two negatives. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
div2negap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem div2negap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 7167	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 926	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → -𝐵 ∈ ℂ)
3		simp1 904	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simp2 905	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		simp3 906	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 # 0)
6		div12ap 7625	. . . 4 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)))
7	2, 3, 4, 5, 6	syl112anc 1139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)))
8		divnegap 7635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → -(𝐵 / 𝐵) = (-𝐵 / 𝐵))
9	4, 8	syld3an1 1181	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → -(𝐵 / 𝐵) = (-𝐵 / 𝐵))
10		dividap 7630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
11	10	3adant1 922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
12	11	negeqd 7162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → -(𝐵 / 𝐵) = -1)
13	9, 12	eqtr3d 2074	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (-𝐵 / 𝐵) = -1)
14	13	oveq2d 5491	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)) = (𝐴 · -1))
15		ax-1cn 6934	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
16	15	negcli 7234	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
17		mulcom 6967	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
18	16, 17	mpan2 401	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
19		mulm1 7352	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
20	18, 19	eqtrd 2072	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · -1) = -𝐴)
21	20	3ad2ant1 925	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 · -1) = -𝐴)
22	14, 21	eqtrd 2072	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)) = -𝐴)
23	7, 22	eqtrd 2072	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = -𝐴)
24		negcl 7167	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
25	24	3ad2ant1 925	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → -𝐴 ∈ ℂ)
26		divclap 7609	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
27		negap0 7572	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 # 0 ↔ -𝐵 # 0))
28	27	biimpa 280	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → -𝐵 # 0)
29	28	3adant1 922	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → -𝐵 # 0)
30		divmulap 7606	. . 3 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (-𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 # 0)) → ((-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵) ↔ (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = -𝐴))
31	25, 26, 2, 29, 30	syl112anc 1139	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ((-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵) ↔ (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = -𝐴))
32	23, 31	mpbird 156	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3761  (class class class)co 5475  ℂcc 6844  0cc0 6846  1c1 6847   · cmul 6851  -cneg 7139   # cap 7524   / cdiv 7603

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-iinf 4274  ax-cnex 6932  ax-resscn 6933  ax-1cn 6934  ax-1re 6935  ax-icn 6936  ax-addcl 6937  ax-addrcl 6938  ax-mulcl 6939  ax-mulrcl 6940  ax-addcom 6941  ax-mulcom 6942  ax-addass 6943  ax-mulass 6944  ax-distr 6945  ax-i2m1 6946  ax-1rid 6948  ax-0id 6949  ax-rnegex 6950  ax-precex 6951  ax-cnre 6952  ax-pre-ltirr 6953  ax-pre-ltwlin 6954  ax-pre-lttrn 6955  ax-pre-apti 6956  ax-pre-ltadd 6957  ax-pre-mulgt0 6958  ax-pre-mulext 6959

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rmo 2311  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4075  df-on 4077  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-f1 4870  df-fo 4871  df-f1o 4872  df-fv 4873  df-riota 5431  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-1st 5730  df-2nd 5731  df-recs 5883  df-irdg 5920  df-1o 5964  df-2o 5965  df-oadd 5968  df-omul 5969  df-er 6069  df-ec 6071  df-qs 6075  df-ni 6359  df-pli 6360  df-mi 6361  df-lti 6362  df-plpq 6399  df-mpq 6400  df-enq 6402  df-nqqs 6403  df-plqqs 6404  df-mqqs 6405  df-1nqqs 6406  df-rq 6407  df-ltnqqs 6408  df-enq0 6479  df-nq0 6480  df-0nq0 6481  df-plq0 6482  df-mq0 6483  df-inp 6521  df-i1p 6522  df-iplp 6523  df-iltp 6525  df-enr 6768  df-nr 6769  df-ltr 6772  df-0r 6773  df-1r 6774  df-0 6853  df-1 6854  df-r 6856  df-lt 6859  df-pnf 7018  df-mnf 7019  df-xr 7020  df-ltxr 7021  df-le 7022  df-sub 7140  df-neg 7141  df-reap 7518  df-ap 7525  df-div 7604

This theorem is referenced by:  divneg2ap  7664  div2negapd  7732