Theorem div2negap 7493

Description: Quotient of two negatives. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
div2negap	⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ B # 0) → (-A / -B) = (A / B))

Proof of Theorem div2negap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 7008	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℂ → -B ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 925	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ B # 0) → -B ∈ ℂ)
3		simp1 903	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ B # 0) → A ∈ ℂ)
4		simp2 904	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ B # 0) → B ∈ ℂ)
5		simp3 905	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ B # 0) → B # 0)
6		div12ap 7455	. . . 4 ⊢ ((-B ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) → (-B · (A / B)) = (A · (-B / B)))
7	2, 3, 4, 5, 6	syl112anc 1138	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ B # 0) → (-B · (A / B)) = (A · (-B / B)))
8		divnegap 7465	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ B # 0) → -(B / B) = (-B / B))
9	4, 8	syld3an1 1180	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ B # 0) → -(B / B) = (-B / B))
10		dividap 7460	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ B # 0) → (B / B) = 1)
11	10	3adant1 921	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ B # 0) → (B / B) = 1)
12	11	negeqd 7003	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ B # 0) → -(B / B) = -1)
13	9, 12	eqtr3d 2071	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ B # 0) → (-B / B) = -1)
14	13	oveq2d 5471	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ B # 0) → (A · (-B / B)) = (A · -1))
15		ax-1cn 6776	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
16	15	negcli 7075	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
17		mulcom 6808	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (A · -1) = (-1 · A))
18	16, 17	mpan2 401	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℂ → (A · -1) = (-1 · A))
19		mulm1 7193	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℂ → (-1 · A) = -A)
20	18, 19	eqtrd 2069	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → (A · -1) = -A)
21	20	3ad2ant1 924	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ B # 0) → (A · -1) = -A)
22	14, 21	eqtrd 2069	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ B # 0) → (A · (-B / B)) = -A)
23	7, 22	eqtrd 2069	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ B # 0) → (-B · (A / B)) = -A)
24		negcl 7008	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → -A ∈ ℂ)
25	24	3ad2ant1 924	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ B # 0) → -A ∈ ℂ)
26		divclap 7439	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ B # 0) → (A / B) ∈ ℂ)
27		negap0 7412	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℂ → (B # 0 ↔ -B # 0))
28	27	biimpa 280	. . . 4 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ B # 0) → -B # 0)
29	28	3adant1 921	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ B # 0) → -B # 0)
30		divmulap 7436	. . 3 ⊢ ((-A ∈ ℂ ∧ (A / B) ∈ ℂ ∧ (-B ∈ ℂ ∧ -B # 0)) → ((-A / -B) = (A / B) ↔ (-B · (A / B)) = -A))
31	25, 26, 2, 29, 30	syl112anc 1138	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ B # 0) → ((-A / -B) = (A / B) ↔ (-B · (A / B)) = -A))
32	23, 31	mpbird 156	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ B # 0) → (-A / -B) = (A / B))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  0cc0 6711  1c1 6712   · cmul 6716  -cneg 6980   # cap 7365   / cdiv 7433

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434

This theorem is referenced by:  divneg2ap  7494  div2negapd  7562