Theorem divalglemnn 11604

Description: Lemma for divalg 11610. Existence for a positive denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divalglemnn	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Proof of Theorem divalglemnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmodcl 10110	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9164	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ)
3		znq 9409	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℚ)
4	3	flqcld 10043	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ)
5	1	nn0ge0d 9026	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑁 mod 𝐷))
6		zq 9411	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
7	6	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℚ)
8		nnq 9418	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℚ)
9	8	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℚ)
10		nngt0 8738	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 0 < 𝐷)
11	10	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 0 < 𝐷)
12		modqlt 10099	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1216	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
14		nnre 8720	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
15	14	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℝ)
16		0red 7760	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
17	16, 15, 11	ltled 7874	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐷)
18	15, 17	absidd 10932	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (abs‘𝐷) = 𝐷)
19	13, 18	breqtrrd 3951	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷))
20	1	nn0cnd 9025	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℂ)
21	4	zcnd 9167	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℂ)
22		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℕ)
23	22	nncnd 8727	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℂ)
24	21, 23	mulcld 7779	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) ∈ ℂ)
25		modqvalr 10091	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐷 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐷) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)))
26	7, 9, 11, 25	syl3anc 1216	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)))
27	26	oveq1d 5782	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 mod 𝐷) + ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)) = ((𝑁 − ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)) + ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)))
28		simpl 108	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
29	28	zcnd 9167	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
30	29, 24	npcand 8070	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 − ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)) + ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)) = 𝑁)
31	27, 30	eqtr2d 2171	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 = ((𝑁 mod 𝐷) + ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷)))
32	20, 24, 31	comraddd 7912	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 = (((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))
33		breq2 3928	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) → (0 ≤ 𝑟 ↔ 0 ≤ (𝑁 mod 𝐷)))
34		breq1 3927	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑟 < (abs‘𝐷) ↔ (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷)))
35		oveq2 5775	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))
36	35	eqeq2d 2149	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷))))
37	33, 34, 36	3anbi123d 1290	. . 3 ⊢ (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) → ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ (𝑁 mod 𝐷) ∧ (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))))
38		oveq1 5774	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) → (𝑞 · 𝐷) = ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷))
39	38	oveq1d 5782	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) → ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)) = (((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))
40	39	eqeq2d 2149	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)) ↔ 𝑁 = (((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷))))
41	40	3anbi3d 1296	. . 3 ⊢ (𝑞 = (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) → ((0 ≤ (𝑁 mod 𝐷) ∧ (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷))) ↔ (0 ≤ (𝑁 mod 𝐷) ∧ (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = (((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))))
42	37, 41	rspc2ev 2799	. 2 ⊢ (((𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ ∧ (0 ≤ (𝑁 mod 𝐷) ∧ (𝑁 mod 𝐷) < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = (((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) + (𝑁 mod 𝐷)))) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
43	2, 4, 5, 19, 32, 42	syl113anc 1228	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2415   class class class wbr 3924  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  ℝcr 7612  0cc0 7613   + caddc 7616   · cmul 7618   < clt 7793   ≤ cle 7794   − cmin 7926   / cdiv 8425  ℕcn 8713  ℤcz 9047  ℚcq 9404  ⌊cfl 10034   mod cmo 10088  abscabs 10762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fl 10036  df-mod 10089  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764

This theorem is referenced by:  divalglemeunn  11607  divalglemex  11608