Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divalglemnqt GIF version

Theorem divalglemnqt 10527
 Description: Lemma for divalg 10531. The 𝑄 < 𝑇 case involved in showing uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglemnqt.d (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
divalglemnqt.r (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
divalglemnqt.s (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
divalglemnqt.q (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
divalglemnqt.t (𝜑𝑇 ∈ ℤ)
divalglemnqt.0s (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
divalglemnqt.rd (𝜑𝑅 < 𝐷)
divalglemnqt.eq (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
Assertion
Ref Expression
divalglemnqt (𝜑 → ¬ 𝑄 < 𝑇)

Proof of Theorem divalglemnqt
StepHypRef Expression
1 divalglemnqt.rd . . 3 (𝜑𝑅 < 𝐷)
21adantr 270 . 2 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑅 < 𝐷)
3 divalglemnqt.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
43adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℕ)
54nnred 8171 . . 3 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℝ)
6 divalglemnqt.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
76adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑅 ∈ ℤ)
87zred 8602 . . 3 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑅 ∈ ℝ)
9 divalglemnqt.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
109adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑆 ∈ ℤ)
1110zred 8602 . . . . 5 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑆 ∈ ℝ)
125, 11readdcld 7262 . . . 4 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (𝐷 + 𝑆) ∈ ℝ)
13 divalglemnqt.0s . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
1413adantr 270 . . . . 5 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 0 ≤ 𝑆)
155, 11addge01d 7752 . . . . 5 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (0 ≤ 𝑆𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑆)))
1614, 15mpbid 145 . . . 4 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑆))
17 divalglemnqt.q . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
1817adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑄 ∈ ℤ)
1918zred 8602 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑄 ∈ ℝ)
2019recnd 7261 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑄 ∈ ℂ)
215recnd 7261 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℂ)
2220, 21mulcld 7253 . . . . . . 7 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℂ)
2311recnd 7261 . . . . . . 7 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑆 ∈ ℂ)
2422, 21, 23addassd 7255 . . . . . 6 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) + 𝑆) = ((𝑄 · 𝐷) + (𝐷 + 𝑆)))
2519, 5remulcld 7263 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℝ)
2625, 5readdcld 7262 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) ∈ ℝ)
27 divalglemnqt.t . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℤ)
2827adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑇 ∈ ℤ)
2928zred 8602 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑇 ∈ ℝ)
3029, 5remulcld 7263 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (𝑇 · 𝐷) ∈ ℝ)
3120, 21adddirp1d 7259 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 + 1) · 𝐷) = ((𝑄 · 𝐷) + 𝐷))
32 peano2re 7363 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ ℝ → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
3319, 32syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
344nnnn0d 8460 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℕ0)
3534nn0ge0d 8463 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 0 ≤ 𝐷)
36 simpr 108 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑄 < 𝑇)
37 zltp1le 8538 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑇 ∈ ℤ) → (𝑄 < 𝑇 ↔ (𝑄 + 1) ≤ 𝑇))
3817, 28, 37syl2an2r 560 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (𝑄 < 𝑇 ↔ (𝑄 + 1) ≤ 𝑇))
3936, 38mpbid 145 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (𝑄 + 1) ≤ 𝑇)
4033, 29, 5, 35, 39lemul1ad 8136 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 + 1) · 𝐷) ≤ (𝑇 · 𝐷))
4131, 40eqbrtrrd 3827 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) ≤ (𝑇 · 𝐷))
4226, 30, 11, 41leadd1dd 7778 . . . . . . 7 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) + 𝑆) ≤ ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
43 divalglemnqt.eq . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
4443adantr 270 . . . . . . 7 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
4542, 44breqtrrd 3831 . . . . . 6 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) + 𝑆) ≤ ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅))
4624, 45eqbrtrrd 3827 . . . . 5 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + (𝐷 + 𝑆)) ≤ ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅))
4712, 8, 25leadd2d 7759 . . . . 5 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → ((𝐷 + 𝑆) ≤ 𝑅 ↔ ((𝑄 · 𝐷) + (𝐷 + 𝑆)) ≤ ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅)))
4846, 47mpbird 165 . . . 4 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (𝐷 + 𝑆) ≤ 𝑅)
495, 12, 8, 16, 48letrd 7352 . . 3 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝐷𝑅)
505, 8, 49lensymd 7350 . 2 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → ¬ 𝑅 < 𝐷)
512, 50pm2.65da 620 1 (𝜑 → ¬ 𝑄 < 𝑇)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563  ℝcr 7094  0cc0 7095  1c1 7096   + caddc 7098   · cmul 7100   < clt 7267   ≤ cle 7268  ℕcn 8158  ℤcz 8484 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485 This theorem is referenced by:  divalglemeunn  10528  divalglemeuneg  10530
 Copyright terms: Public domain W3C validator