ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divfnzn GIF version

Theorem divfnzn 8653
Description: Division restricted to ℤ × ℕ is a function. Given excluded middle, it would be easy to prove this for ℂ × (ℂ ∖ {0}). The key difference is that an element of is apart from zero, whereas being an element of ℂ ∖ {0} implies being not equal to zero. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
divfnzn ( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ)

Proof of Theorem divfnzn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zcn 8307 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
21ad2antrr 465 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
3 nncn 7998 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
43ad2antlr 466 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
5 simpr 107 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
6 nnap0 8019 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
76ad2antlr 466 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑦 # 0)
82, 4, 5, 7divmulapd 7862 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 / 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
98riotabidva 5512 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑥 / 𝑦) = 𝑧) = (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
10 eqcom 2058 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥 / 𝑦) ↔ (𝑥 / 𝑦) = 𝑧)
1110a1i 9 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 = (𝑥 / 𝑦) ↔ (𝑥 / 𝑦) = 𝑧))
1211riotabidv 5498 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑥 / 𝑦)) = (𝑧 ∈ ℂ (𝑥 / 𝑦) = 𝑧))
13 simpl 106 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
143adantl 266 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
156adantl 266 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 # 0)
1613, 14, 15divclapd 7840 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℂ)
17 reueq 2761 . . . . . . . 8 ((𝑥 / 𝑦) ∈ ℂ ↔ ∃!𝑧 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑥 / 𝑦))
1816, 17sylib 131 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ∃!𝑧 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑥 / 𝑦))
19 riotacl 5510 . . . . . . 7 (∃!𝑧 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑧 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℂ)
2018, 19syl 14 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℂ)
211, 20sylan 271 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑥 / 𝑦)) ∈ ℂ)
2212, 21eqeltrrd 2131 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑥 / 𝑦) = 𝑧) ∈ ℂ)
239, 22eqeltrrd 2131 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ)
2423rgen2 2422 . 2 𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ
25 df-div 7726 . . . . 5 / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
2625reseq1i 4636 . . . 4 ( / ↾ (ℤ × ℕ)) = ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥)) ↾ (ℤ × ℕ))
27 zsscn 8310 . . . . 5 ℤ ⊆ ℂ
28 nncn 7998 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
29 nnne0 8018 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
30 eldifsn 3523 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
3128, 29, 30sylanbrc 402 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
3231ssriv 2977 . . . . 5 ℕ ⊆ (ℂ ∖ {0})
33 resmpt2 5627 . . . . 5 ((ℤ ⊆ ℂ ∧ ℕ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥)) ↾ (ℤ × ℕ)) = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥)))
3427, 32, 33mp2an 410 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥)) ↾ (ℤ × ℕ)) = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
3526, 34eqtri 2076 . . 3 ( / ↾ (ℤ × ℕ)) = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
3635fnmpt2 5856 . 2 (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ → ( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ))
3724, 36ax-mp 7 1 ( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wcel 1409  wne 2220  wral 2323  ∃!wreu 2325  cdif 2942  wss 2945  {csn 3403   class class class wbr 3792   × cxp 4371  cres 4375   Fn wfn 4925  crio 5495  (class class class)co 5540  cmpt2 5542  cc 6945  0cc0 6947   · cmul 6952   # cap 7646   / cdiv 7725  cn 7990  cz 8302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-z 8303
This theorem is referenced by:  elq  8654
  Copyright terms: Public domain W3C validator