ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divmuleqap GIF version

Theorem divmuleqap 7645
Description: Cross-multiply in an equality of ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
divmuleqap (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) = (𝐵 / 𝐷) ↔ (𝐴 · 𝐷) = (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem divmuleqap
StepHypRef Expression
1 divclap 7609 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
213expb 1105 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
32ad2ant2r 478 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
4 divclap 7609 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
543expb 1105 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
65ad2ant2l 477 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
7 mulcl 6965 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
87ad2ant2r 478 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
9 mulap0 7587 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → (𝐶 · 𝐷) # 0)
108, 9jca 290 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → ((𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) # 0))
1110adantl 262 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) # 0))
12 mulcanap2 7599 . . 3 (((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) # 0)) → (((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐶) = (𝐵 / 𝐷)))
133, 6, 11, 12syl3anc 1135 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐶) = (𝐵 / 𝐷)))
14 simprll 489 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐶 ∈ ℂ)
15 simprrl 491 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐷 ∈ ℂ)
163, 14, 15mulassd 7007 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) · 𝐷) = ((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)))
17 divcanap1 7612 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) = 𝐴)
18173expb 1105 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) = 𝐴)
1918ad2ant2r 478 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) = 𝐴)
2019oveq1d 5490 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) · 𝐷) = (𝐴 · 𝐷))
2116, 20eqtr3d 2074 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = (𝐴 · 𝐷))
2214, 15mulcomd 7005 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐶 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐶))
2322oveq2d 5491 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐷 · 𝐶)))
246, 15, 14mulassd 7007 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) · 𝐶) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐷 · 𝐶)))
25 divcanap1 7612 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) → ((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) = 𝐵)
26253expb 1105 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → ((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) = 𝐵)
2726ad2ant2l 477 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) = 𝐵)
2827oveq1d 5490 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
2923, 24, 283eqtr2d 2078 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) = (𝐵 · 𝐶))
3021, 29eqeq12d 2054 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) ↔ (𝐴 · 𝐷) = (𝐵 · 𝐶)))
3113, 30bitr3d 179 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) = (𝐵 / 𝐷) ↔ (𝐴 · 𝐷) = (𝐵 · 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98   = wceq 1243  wcel 1393   class class class wbr 3761  (class class class)co 5475  cc 6844  0cc0 6846   · cmul 6851   # cap 7524   / cdiv 7603
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-setind 4232  ax-iinf 4274  ax-cnex 6932  ax-resscn 6933  ax-1cn 6934  ax-1re 6935  ax-icn 6936  ax-addcl 6937  ax-addrcl 6938  ax-mulcl 6939  ax-mulrcl 6940  ax-addcom 6941  ax-mulcom 6942  ax-addass 6943  ax-mulass 6944  ax-distr 6945  ax-i2m1 6946  ax-1rid 6948  ax-0id 6949  ax-rnegex 6950  ax-precex 6951  ax-cnre 6952  ax-pre-ltirr 6953  ax-pre-ltwlin 6954  ax-pre-lttrn 6955  ax-pre-apti 6956  ax-pre-ltadd 6957  ax-pre-mulgt0 6958  ax-pre-mulext 6959
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rmo 2311  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4075  df-on 4077  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-rel 4315  df-cnv 4316  df-co 4317  df-dm 4318  df-rn 4319  df-res 4320  df-ima 4321  df-iota 4830  df-fun 4867  df-fn 4868  df-f 4869  df-f1 4870  df-fo 4871  df-f1o 4872  df-fv 4873  df-riota 5431  df-ov 5478  df-oprab 5479  df-mpt2 5480  df-1st 5730  df-2nd 5731  df-recs 5883  df-irdg 5920  df-1o 5964  df-2o 5965  df-oadd 5968  df-omul 5969  df-er 6069  df-ec 6071  df-qs 6075  df-ni 6359  df-pli 6360  df-mi 6361  df-lti 6362  df-plpq 6399  df-mpq 6400  df-enq 6402  df-nqqs 6403  df-plqqs 6404  df-mqqs 6405  df-1nqqs 6406  df-rq 6407  df-ltnqqs 6408  df-enq0 6479  df-nq0 6480  df-0nq0 6481  df-plq0 6482  df-mq0 6483  df-inp 6521  df-i1p 6522  df-iplp 6523  df-iltp 6525  df-enr 6768  df-nr 6769  df-ltr 6772  df-0r 6773  df-1r 6774  df-0 6853  df-1 6854  df-r 6856  df-lt 6859  df-pnf 7018  df-mnf 7019  df-xr 7020  df-ltxr 7021  df-le 7022  df-sub 7140  df-neg 7141  df-reap 7518  df-ap 7525  df-div 7604
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator