Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divmuleqap GIF version

Theorem divmuleqap 7475
 Description: Cross-multiply in an equality of ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
divmuleqap (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((A / 𝐶) = (B / 𝐷) ↔ (A · 𝐷) = (B · 𝐶)))

Proof of Theorem divmuleqap
StepHypRef Expression
1 divclap 7439 . . . . 5 ((A 𝐶 𝐶 # 0) → (A / 𝐶) ℂ)
213expb 1104 . . . 4 ((A (𝐶 𝐶 # 0)) → (A / 𝐶) ℂ)
32ad2ant2r 478 . . 3 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (A / 𝐶) ℂ)
4 divclap 7439 . . . . 5 ((B 𝐷 𝐷 # 0) → (B / 𝐷) ℂ)
543expb 1104 . . . 4 ((B (𝐷 𝐷 # 0)) → (B / 𝐷) ℂ)
65ad2ant2l 477 . . 3 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (B / 𝐷) ℂ)
7 mulcl 6806 . . . . . 6 ((𝐶 𝐷 ℂ) → (𝐶 · 𝐷) ℂ)
87ad2ant2r 478 . . . . 5 (((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0)) → (𝐶 · 𝐷) ℂ)
9 mulap0 7417 . . . . 5 (((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0)) → (𝐶 · 𝐷) # 0)
108, 9jca 290 . . . 4 (((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0)) → ((𝐶 · 𝐷) (𝐶 · 𝐷) # 0))
1110adantl 262 . . 3 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((𝐶 · 𝐷) (𝐶 · 𝐷) # 0))
12 mulcanap2 7429 . . 3 (((A / 𝐶) (B / 𝐷) ((𝐶 · 𝐷) (𝐶 · 𝐷) # 0)) → (((A / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = ((B / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) ↔ (A / 𝐶) = (B / 𝐷)))
133, 6, 11, 12syl3anc 1134 . 2 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (((A / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = ((B / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) ↔ (A / 𝐶) = (B / 𝐷)))
14 simprll 489 . . . . 5 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → 𝐶 ℂ)
15 simprrl 491 . . . . 5 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → 𝐷 ℂ)
163, 14, 15mulassd 6848 . . . 4 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (((A / 𝐶) · 𝐶) · 𝐷) = ((A / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)))
17 divcanap1 7442 . . . . . . 7 ((A 𝐶 𝐶 # 0) → ((A / 𝐶) · 𝐶) = A)
18173expb 1104 . . . . . 6 ((A (𝐶 𝐶 # 0)) → ((A / 𝐶) · 𝐶) = A)
1918ad2ant2r 478 . . . . 5 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((A / 𝐶) · 𝐶) = A)
2019oveq1d 5470 . . . 4 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (((A / 𝐶) · 𝐶) · 𝐷) = (A · 𝐷))
2116, 20eqtr3d 2071 . . 3 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((A / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = (A · 𝐷))
2214, 15mulcomd 6846 . . . . 5 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (𝐶 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐶))
2322oveq2d 5471 . . . 4 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((B / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) = ((B / 𝐷) · (𝐷 · 𝐶)))
246, 15, 14mulassd 6848 . . . 4 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (((B / 𝐷) · 𝐷) · 𝐶) = ((B / 𝐷) · (𝐷 · 𝐶)))
25 divcanap1 7442 . . . . . . 7 ((B 𝐷 𝐷 # 0) → ((B / 𝐷) · 𝐷) = B)
26253expb 1104 . . . . . 6 ((B (𝐷 𝐷 # 0)) → ((B / 𝐷) · 𝐷) = B)
2726ad2ant2l 477 . . . . 5 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((B / 𝐷) · 𝐷) = B)
2827oveq1d 5470 . . . 4 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (((B / 𝐷) · 𝐷) · 𝐶) = (B · 𝐶))
2923, 24, 283eqtr2d 2075 . . 3 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((B / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) = (B · 𝐶))
3021, 29eqeq12d 2051 . 2 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → (((A / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = ((B / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) ↔ (A · 𝐷) = (B · 𝐶)))
3113, 30bitr3d 179 1 (((A B ℂ) ((𝐶 𝐶 # 0) (𝐷 𝐷 # 0))) → ((A / 𝐶) = (B / 𝐷) ↔ (A · 𝐷) = (B · 𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  0cc0 6711   · cmul 6716   # cap 7365   / cdiv 7433 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator