Theorem divmuleqap 8470

Description: Cross-multiply in an equality of ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divmuleqap	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) = (𝐵 / 𝐷) ↔ (𝐴 · 𝐷) = (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem divmuleqap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divclap 8431	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
2	1	3expb 1182	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
3	2	ad2ant2r 500	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
4		divclap 8431	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
5	4	3expb 1182	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
6	5	ad2ant2l 499	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
7		mulcl 7740	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
8	7	ad2ant2r 500	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ)
9		mulap0 8408	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → (𝐶 · 𝐷) # 0)
10	8, 9	jca 304	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → ((𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) # 0))
11	10	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) # 0))
12		mulcanap2 8420	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝐷) # 0)) → (((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐶) = (𝐵 / 𝐷)))
13	3, 6, 11, 12	syl3anc 1216	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐶) = (𝐵 / 𝐷)))
14		simprll 526	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐶 ∈ ℂ)
15		simprrl 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐷 ∈ ℂ)
16	3, 14, 15	mulassd 7782	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) · 𝐷) = ((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)))
17		divcanap1 8434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) = 𝐴)
18	17	3expb 1182	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) = 𝐴)
19	18	ad2ant2r 500	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) = 𝐴)
20	19	oveq1d 5782	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐴 / 𝐶) · 𝐶) · 𝐷) = (𝐴 · 𝐷))
21	16, 20	eqtr3d 2172	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = (𝐴 · 𝐷))
22	14, 15	mulcomd 7780	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐶 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐶))
23	22	oveq2d 5783	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐷 · 𝐶)))
24	6, 15, 14	mulassd 7782	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) · 𝐶) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐷 · 𝐶)))
25		divcanap1 8434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) → ((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) = 𝐵)
26	25	3expb 1182	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → ((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) = 𝐵)
27	26	ad2ant2l 499	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) = 𝐵)
28	27	oveq1d 5782	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐵 / 𝐷) · 𝐷) · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
29	23, 24, 28	3eqtr2d 2176	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) = (𝐵 · 𝐶))
30	21, 29	eqeq12d 2152	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐴 / 𝐶) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐵 / 𝐷) · (𝐶 · 𝐷)) ↔ (𝐴 · 𝐷) = (𝐵 · 𝐶)))
31	13, 30	bitr3d 189	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) = (𝐵 / 𝐷) ↔ (𝐴 · 𝐷) = (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  0cc0 7613   · cmul 7618   # cap 8336   / cdiv 8425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426

This theorem is referenced by:  qtri3or  10013