Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divsubdivap GIF version

Theorem divsubdivap 7960
 Description: Subtraction of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
divsubdivap (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)))

Proof of Theorem divsubdivap
StepHypRef Expression
1 negcl 7452 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2 divadddivap 7959 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) + (-𝐵 · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)))
31, 2sylanl2 395 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) + (-𝐵 · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)))
4 simplr 497 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 simprrl 506 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐷 ∈ ℂ)
6 simprrr 507 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐷 # 0)
7 divnegap 7938 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) → -(𝐵 / 𝐷) = (-𝐵 / 𝐷))
84, 5, 6, 7syl3anc 1170 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → -(𝐵 / 𝐷) = (-𝐵 / 𝐷))
98oveq2d 5581 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) + -(𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐷)))
10 simpll 496 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 simprll 504 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐶 ∈ ℂ)
12 simprlr 505 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐶 # 0)
13 divclap 7910 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
1410, 11, 12, 13syl3anc 1170 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
15 divclap 7910 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
164, 5, 6, 15syl3anc 1170 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
1714, 16negsubd 7569 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) + -(𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐷)))
189, 17eqtr3d 2117 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐷)))
193, 18eqtr3d 2117 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐴 · 𝐷) + (-𝐵 · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐷)))
204, 11mulneg1d 7659 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (-𝐵 · 𝐶) = -(𝐵 · 𝐶))
2120oveq2d 5581 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 · 𝐷) + (-𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐷) + -(𝐵 · 𝐶)))
2210, 5mulcld 7278 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
234, 11mulcld 7278 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
2422, 23negsubd 7569 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 · 𝐷) + -(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)))
2521, 24eqtrd 2115 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 · 𝐷) + (-𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)))
2625oveq1d 5580 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐴 · 𝐷) + (-𝐵 · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)))
2719, 26eqtr3d 2117 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3806  (class class class)co 5565  ℂcc 7118  0cc0 7120   + caddc 7123   · cmul 7125   − cmin 7423  -cneg 7424   # cap 7825   / cdiv 7904 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1cn 7208  ax-1re 7209  ax-icn 7210  ax-addcl 7211  ax-addrcl 7212  ax-mulcl 7213  ax-mulrcl 7214  ax-addcom 7215  ax-mulcom 7216  ax-addass 7217  ax-mulass 7218  ax-distr 7219  ax-i2m1 7220  ax-0lt1 7221  ax-1rid 7222  ax-0id 7223  ax-rnegex 7224  ax-precex 7225  ax-cnre 7226  ax-pre-ltirr 7227  ax-pre-ltwlin 7228  ax-pre-lttrn 7229  ax-pre-apti 7230  ax-pre-ltadd 7231  ax-pre-mulgt0 7232  ax-pre-mulext 7233 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fv 4961  df-riota 5521  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298  df-sub 7425  df-neg 7426  df-reap 7819  df-ap 7826  df-div 7905 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator