ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmopab3 GIF version

Theorem dmopab3 4573
Description: The domain of a restricted class of ordered pairs. (Contributed by NM, 31-Jan-2004.)
Assertion
Ref Expression
dmopab3 (∀𝑥𝐴𝑦𝜑 ↔ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐴𝜑)} = 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dmopab3
StepHypRef Expression
1 df-ral 2326 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∃𝑦𝜑))
2 pm4.71 375 . . 3 ((𝑥𝐴 → ∃𝑦𝜑) ↔ (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)))
32albii 1373 . 2 (∀𝑥(𝑥𝐴 → ∃𝑦𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)))
4 dmopab 4571 . . . . 5 dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐴𝜑)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝐴𝜑)}
5 19.42v 1800 . . . . . 6 (∃𝑦(𝑥𝐴𝜑) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑))
65abbii 2167 . . . . 5 {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝐴𝜑)} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)}
74, 6eqtri 2074 . . . 4 dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐴𝜑)} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)}
87eqeq1i 2061 . . 3 (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐴𝜑)} = 𝐴 ↔ {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)} = 𝐴)
9 eqcom 2056 . . 3 (𝐴 = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)} ↔ {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)} = 𝐴)
10 abeq2 2160 . . 3 (𝐴 = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)} ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)))
118, 9, 103bitr2ri 202 . 2 (∀𝑥(𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)) ↔ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐴𝜑)} = 𝐴)
121, 3, 113bitri 199 1 (∀𝑥𝐴𝑦𝜑 ↔ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐴𝜑)} = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wal 1255   = wceq 1257  wex 1395  wcel 1407  {cab 2040  wral 2321  {copab 3842  dom cdm 4370
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-sep 3900  ax-pow 3952  ax-pr 3969
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ral 2326  df-v 2574  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-br 3790  df-opab 3844  df-dm 4380
This theorem is referenced by:  dmxpm  4580  fnopabg  5047
  Copyright terms: Public domain W3C validator