ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  domtr GIF version

Theorem domtr 6647
Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
domtr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem domtr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 6607 . 2 Rel ≼
2 vex 2663 . . . 4 𝑦 ∈ V
32brdom 6612 . . 3 (𝑥𝑦 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝑥1-1𝑦)
4 vex 2663 . . . 4 𝑧 ∈ V
54brdom 6612 . . 3 (𝑦𝑧 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1𝑧)
6 eeanv 1884 . . . 4 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1𝑦𝑓:𝑦1-1𝑧) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝑥1-1𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1𝑧))
7 f1co 5310 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝑦1-1𝑧𝑔:𝑥1-1𝑦) → (𝑓𝑔):𝑥1-1𝑧)
87ancoms 266 . . . . . . 7 ((𝑔:𝑥1-1𝑦𝑓:𝑦1-1𝑧) → (𝑓𝑔):𝑥1-1𝑧)
9 vex 2663 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
10 vex 2663 . . . . . . . . 9 𝑔 ∈ V
119, 10coex 5054 . . . . . . . 8 (𝑓𝑔) ∈ V
12 f1eq1 5293 . . . . . . . 8 ( = (𝑓𝑔) → (:𝑥1-1𝑧 ↔ (𝑓𝑔):𝑥1-1𝑧))
1311, 12spcev 2754 . . . . . . 7 ((𝑓𝑔):𝑥1-1𝑧 → ∃ :𝑥1-1𝑧)
148, 13syl 14 . . . . . 6 ((𝑔:𝑥1-1𝑦𝑓:𝑦1-1𝑧) → ∃ :𝑥1-1𝑧)
154brdom 6612 . . . . . 6 (𝑥𝑧 ↔ ∃ :𝑥1-1𝑧)
1614, 15sylibr 133 . . . . 5 ((𝑔:𝑥1-1𝑦𝑓:𝑦1-1𝑧) → 𝑥𝑧)
1716exlimivv 1852 . . . 4 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1𝑦𝑓:𝑦1-1𝑧) → 𝑥𝑧)
186, 17sylbir 134 . . 3 ((∃𝑔 𝑔:𝑥1-1𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1𝑧) → 𝑥𝑧)
193, 5, 18syl2anb 289 . 2 ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧)
201, 19vtoclr 4557 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wex 1453   class class class wbr 3899  ccom 4513  1-1wf1 5090  cdom 6601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-dom 6604
This theorem is referenced by:  endomtr  6652  domentr  6653  cnvct  6671  ssct  6680  nndomo  6726  infnfi  6757  xpct  11836
  Copyright terms: Public domain W3C validator