ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  domtr GIF version

Theorem domtr 6295
Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
domtr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem domtr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 6256 . 2 Rel ≼
2 vex 2577 . . . 4 𝑦 ∈ V
32brdom 6261 . . 3 (𝑥𝑦 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝑥1-1𝑦)
4 vex 2577 . . . 4 𝑧 ∈ V
54brdom 6261 . . 3 (𝑦𝑧 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1𝑧)
6 eeanv 1823 . . . 4 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1𝑦𝑓:𝑦1-1𝑧) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝑥1-1𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1𝑧))
7 f1co 5128 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝑦1-1𝑧𝑔:𝑥1-1𝑦) → (𝑓𝑔):𝑥1-1𝑧)
87ancoms 259 . . . . . . 7 ((𝑔:𝑥1-1𝑦𝑓:𝑦1-1𝑧) → (𝑓𝑔):𝑥1-1𝑧)
9 vex 2577 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
10 vex 2577 . . . . . . . . 9 𝑔 ∈ V
119, 10coex 4890 . . . . . . . 8 (𝑓𝑔) ∈ V
12 f1eq1 5114 . . . . . . . 8 ( = (𝑓𝑔) → (:𝑥1-1𝑧 ↔ (𝑓𝑔):𝑥1-1𝑧))
1311, 12spcev 2664 . . . . . . 7 ((𝑓𝑔):𝑥1-1𝑧 → ∃ :𝑥1-1𝑧)
148, 13syl 14 . . . . . 6 ((𝑔:𝑥1-1𝑦𝑓:𝑦1-1𝑧) → ∃ :𝑥1-1𝑧)
154brdom 6261 . . . . . 6 (𝑥𝑧 ↔ ∃ :𝑥1-1𝑧)
1614, 15sylibr 141 . . . . 5 ((𝑔:𝑥1-1𝑦𝑓:𝑦1-1𝑧) → 𝑥𝑧)
1716exlimivv 1792 . . . 4 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1𝑦𝑓:𝑦1-1𝑧) → 𝑥𝑧)
186, 17sylbir 129 . . 3 ((∃𝑔 𝑔:𝑥1-1𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1𝑧) → 𝑥𝑧)
193, 5, 18syl2anb 279 . 2 ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧)
201, 19vtoclr 4415 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wex 1397   class class class wbr 3791  ccom 4376  1-1wf1 4926  cdom 6250
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-dom 6253
This theorem is referenced by:  endomtr  6300  domentr  6301  nndomo  6356
  Copyright terms: Public domain W3C validator