ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvds1 GIF version

Theorem dvds1 10398
Description: The only nonnegative integer that divides 1 is 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvds1 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∥ 1 ↔ 𝑀 = 1))

Proof of Theorem dvds1
StepHypRef Expression
1 simpl 107 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∥ 1) → 𝑀 ∈ ℕ0)
2 1nn0 8371 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
32a1i 9 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∥ 1) → 1 ∈ ℕ0)
4 simpr 108 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∥ 1) → 𝑀 ∥ 1)
5 nn0z 8452 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
6 1dvds 10354 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑀)
75, 6syl 14 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ∥ 𝑀)
87adantr 270 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∥ 1) → 1 ∥ 𝑀)
9 dvdseq 10393 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∥ 1 ∧ 1 ∥ 𝑀)) → 𝑀 = 1)
101, 3, 4, 8, 9syl22anc 1171 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∥ 1) → 𝑀 = 1)
1110ex 113 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∥ 1 → 𝑀 = 1))
12 id 19 . . 3 (𝑀 = 1 → 𝑀 = 1)
13 1z 8458 . . . 4 1 ∈ ℤ
14 iddvds 10353 . . . 4 (1 ∈ ℤ → 1 ∥ 1)
1513, 14ax-mp 7 . . 3 1 ∥ 1
1612, 15syl6eqbr 3830 . 2 (𝑀 = 1 → 𝑀 ∥ 1)
1711, 16impbid1 140 1 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∥ 1 ↔ 𝑀 = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3793  1c1 7044  0cn0 8355  cz 8432  cdvds 10340
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156  ax-arch 7157  ax-caucvg 7158
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-2 8165  df-3 8166  df-4 8167  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-q 8786  df-rp 8816  df-iseq 9522  df-iexp 9573  df-cj 9867  df-re 9868  df-im 9869  df-rsqrt 10022  df-abs 10023  df-dvds 10341
This theorem is referenced by:  rpmulgcd2  10621  rpmul  10624  1nprm  10640  nprmdvds1  10665
  Copyright terms: Public domain W3C validator