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Theorem dvdsabseq 10159
Description: If two integers divide each other, they must be equal, up to a difference in sign. Theorem 1.1(j) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.) (Revised by AV, 7-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
dvdsabseq ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))

Proof of Theorem dvdsabseq
StepHypRef Expression
1 dvdszrcl 10113 . . 3 (𝑀𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
2 simpr 107 . . . . . . 7 ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → 𝑁𝑀)
3 breq1 3795 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (𝑁𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
4 0dvds 10128 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀𝑀 = 0))
54adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑀𝑀 = 0))
6 zcn 8307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
76abs00ad 9892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) = 0 ↔ 𝑀 = 0))
87bicomd 133 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 = 0 ↔ (abs‘𝑀) = 0))
98adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 ↔ (abs‘𝑀) = 0))
105, 9bitrd 181 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑀 ↔ (abs‘𝑀) = 0))
113, 10sylan9bb 443 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁𝑀 ↔ (abs‘𝑀) = 0))
12 fveq2 5206 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = (abs‘0))
13 abs0 9885 . . . . . . . . . . 11 (abs‘0) = 0
1412, 13syl6eq 2104 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = 0)
1514adantr 265 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (abs‘𝑁) = 0)
1615eqeq2d 2067 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) ↔ (abs‘𝑀) = 0))
1711, 16bitr4d 184 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁𝑀 ↔ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
182, 17syl5ib 147 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
1918expd 249 . . . . 5 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
2019expcom 113 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
21 simprl 491 . . . . . . 7 ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
22 simpr 107 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
2322adantl 266 . . . . . . 7 ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
24 neqne 2228 . . . . . . . 8 𝑁 = 0 → 𝑁 ≠ 0)
2524adantr 265 . . . . . . 7 ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ≠ 0)
26 dvdsleabs2 10158 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀𝑁 → (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁)))
2721, 23, 25, 26syl3anc 1146 . . . . . 6 ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁 → (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁)))
28 simpr 107 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑀𝑀𝑁) → 𝑀𝑁)
29 breq1 3795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
30 0dvds 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
31 eqcom 2058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘𝑁) = 0 ↔ 0 = (abs‘𝑁))
32 zcn 8307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3332abs00ad 9892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℤ → ((abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
3431, 33syl5rbbr 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ↔ 0 = (abs‘𝑁)))
3530, 34bitrd 181 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 = (abs‘𝑁)))
3635adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 = (abs‘𝑁)))
3729, 36sylan9bb 443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁 ↔ 0 = (abs‘𝑁)))
38 fveq2 5206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = (abs‘0))
3938, 13syl6eq 2104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = 0)
4039adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (abs‘𝑀) = 0)
4140eqeq1d 2064 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) ↔ 0 = (abs‘𝑁)))
4237, 41bitr4d 184 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁 ↔ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
4328, 42syl5ib 147 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑀𝑀𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
4443a1dd 46 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑀𝑀𝑁) → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
4544expcomd 1346 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
4645expcom 113 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))))
4722adantl 266 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
48 simprl 491 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
49 neqne 2228 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 = 0 → 𝑀 ≠ 0)
5049adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ≠ 0)
51 dvdsleabs2 10158 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁𝑀 → (abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀)))
5247, 48, 50, 51syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁𝑀 → (abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀)))
53 eqcom 2058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) ↔ (abs‘𝑁) = (abs‘𝑀))
5432abscld 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
556abscld 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
56 letri3 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℝ) → ((abs‘𝑁) = (abs‘𝑀) ↔ ((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁))))
5754, 55, 56syl2anr 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) = (abs‘𝑀) ↔ ((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁))))
5853, 57syl5bb 185 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) ↔ ((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁))))
5958biimprd 151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁)) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
6059expd 249 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
6160adantl 266 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
6252, 61syld 44 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁𝑀 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
6362a1d 22 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
6463expcom 113 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀 = 0 → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))))
65 0z 8313 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
66 zdceq 8374 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 0)
6765, 66mpan2 409 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → DECID 𝑀 = 0)
68 exmiddc 755 . . . . . . . . . . 11 (DECID 𝑀 = 0 → (𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0))
6967, 68syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0))
7069adantr 265 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0))
7146, 64, 70mpjaod 648 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
7271com34 81 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (𝑁𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
7372adantl 266 . . . . . 6 ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (𝑁𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
7427, 73mpdd 40 . . . . 5 ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
7574expcom 113 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑁 = 0 → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
76 zdceq 8374 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
7765, 76mpan2 409 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 0)
78 exmiddc 755 . . . . . 6 (DECID 𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
7977, 78syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
8079adantl 266 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
8120, 75, 80mpjaod 648 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
821, 81mpcom 36 . 2 (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
8382imp 119 1 ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  wo 639  DECID wdc 753   = wceq 1259  wcel 1409  wne 2220   class class class wbr 3792  cfv 4930  cr 6946  0cc0 6947  cle 7120  cz 8302  abscabs 9824  cdvds 10108
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060  ax-arch 7061  ax-caucvg 7062
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-3 8050  df-4 8051  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-q 8652  df-rp 8682  df-iseq 9376  df-iexp 9420  df-cj 9670  df-re 9671  df-im 9672  df-rsqrt 9825  df-abs 9826  df-dvds 10109
This theorem is referenced by:  dvdseq  10160
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