ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsval3 GIF version

Theorem dvdsval3 11424
Description: One nonzero integer divides another integer if and only if the remainder upon division is zero, see remark in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsval3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁 mod 𝑀) = 0))

Proof of Theorem dvdsval3
StepHypRef Expression
1 nnz 9041 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
2 nnne0 8716 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
31, 2jca 304 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0))
4 dvdsval2 11423 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
543expa 1166 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
63, 5sylan 281 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
7 zq 9386 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
87adantl 275 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℚ)
9 nnq 9393 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
109adantr 274 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℚ)
11 nngt0 8713 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
1211adantr 274 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 < 𝑀)
13 modq0 10070 . . 3 ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝑁 mod 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
148, 10, 12, 13syl3anc 1201 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
156, 14bitr4d 190 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁 mod 𝑀) = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465  wne 2285   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742  0cc0 7588   < clt 7768   / cdiv 8400  cn 8688  cz 9022  cq 9379   mod cmo 10063  cdvds 11420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-q 9380  df-rp 9410  df-fl 10011  df-mod 10064  df-dvds 11421
This theorem is referenced by:  dvdsdc  11428  moddvds  11429  summodnegmod  11451  mulmoddvds  11488  mod2eq0even  11502
  Copyright terms: Public domain W3C validator