ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ecelqsi GIF version

Theorem ecelqsi 6190
Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ecelqsi.1 𝑅 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ecelqsi (𝐵𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

Proof of Theorem ecelqsi
StepHypRef Expression
1 ecelqsi.1 . 2 𝑅 ∈ V
2 ecelqsg 6189 . 2 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))
31, 2mpan 408 1 (𝐵𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1409  Vcvv 2574  [cec 6134   / cqs 6135
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-xp 4378  df-cnv 4380  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-ec 6138  df-qs 6142
This theorem is referenced by:  ecopqsi  6191  th3q  6241  1nq  6521  addclnq  6530  mulclnq  6531  recexnq  6545  ltexnqq  6563  prarloclemarch  6573  prarloclemarch2  6574  nnnq  6577  nqnq0  6596  addnnnq0  6604  mulnnnq0  6605  addclnq0  6606  mulclnq0  6607  nqpnq0nq  6608  prarloclemlt  6648  prarloclemlo  6649  prarloclemcalc  6657  nqprm  6697  addsrpr  6887  mulsrpr  6888  0r  6892  1sr  6893  m1r  6894  addclsr  6895  mulclsr  6896  prsrcl  6925  pitonnlem2  6980  pitonn  6981  pitore  6983  recnnre  6984
  Copyright terms: Public domain W3C validator