ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ecopqsi GIF version

Theorem ecopqsi 6192
Description: "Closure" law for equivalence class of ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Mar-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
ecopqsi.1 𝑅 ∈ V
ecopqsi.2 𝑆 = ((𝐴 × 𝐴) / 𝑅)
Assertion
Ref Expression
ecopqsi ((𝐵𝐴𝐶𝐴) → [⟨𝐵, 𝐶⟩]𝑅𝑆)

Proof of Theorem ecopqsi
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4404 . 2 ((𝐵𝐴𝐶𝐴) → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
2 ecopqsi.1 . . . 4 𝑅 ∈ V
32ecelqsi 6191 . . 3 (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) → [⟨𝐵, 𝐶⟩]𝑅 ∈ ((𝐴 × 𝐴) / 𝑅))
4 ecopqsi.2 . . 3 𝑆 = ((𝐴 × 𝐴) / 𝑅)
53, 4syl6eleqr 2147 . 2 (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) → [⟨𝐵, 𝐶⟩]𝑅𝑆)
61, 5syl 14 1 ((𝐵𝐴𝐶𝐴) → [⟨𝐵, 𝐶⟩]𝑅𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  Vcvv 2574  cop 3406   × cxp 4371  [cec 6135   / cqs 6136
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-xp 4379  df-cnv 4381  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-ec 6139  df-qs 6143
This theorem is referenced by:  brecop  6227  recexgt0sr  6916
  Copyright terms: Public domain W3C validator