ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eldif GIF version

Theorem eldif 2983
Description: Expansion of membership in a class difference. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
eldif (𝐴 ∈ (𝐵𝐶) ↔ (𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐶))

Proof of Theorem eldif
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2611 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵𝐶) → 𝐴 ∈ V)
2 elex 2611 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
32adantr 270 . 2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ V)
4 eleq1 2142 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐵𝐴𝐵))
5 eleq1 2142 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐶𝐴𝐶))
65notbid 625 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑥𝐶 ↔ ¬ 𝐴𝐶))
74, 6anbi12d 457 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶) ↔ (𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐶)))
8 df-dif 2976 . . 3 (𝐵𝐶) = {𝑥 ∣ (𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐶)}
97, 8elab2g 2741 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (𝐵𝐶) ↔ (𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐶)))
101, 3, 9pm5.21nii 653 1 (𝐴 ∈ (𝐵𝐶) ↔ (𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  Vcvv 2602  cdif 2971
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-v 2604  df-dif 2976
This theorem is referenced by:  eldifd  2984  eldifad  2985  eldifbd  2986  difeqri  3093  eldifi  3095  eldifn  3096  difdif  3098  ddifstab  3105  ssconb  3106  sscon  3107  ssdif  3108  raldifb  3113  ssddif  3199  unssdif  3200  inssdif  3201  difin  3202  unssin  3204  inssun  3205  invdif  3207  indif  3208  difundi  3217  difindiss  3219  indifdir  3221  undif3ss  3226  difin2  3227  symdifxor  3231  dfnul2  3254  reldisj  3296  disj3  3297  undif4  3307  ssdif0im  3309  inssdif0im  3312  ssundifim  3327  eldifsn  3519  difprsnss  3526  iundif2ss  3745  iindif2m  3747  brdif  3835  unidif0  3943  eldifpw  4228  elirr  4286  en2lp  4299  difopab  4491  intirr  4735  cnvdif  4754  imadiflem  5003  imadif  5004  xrlenlt  7233  nzadd  8473  irradd  8801  irrmul  8802  fzdifsuc  9163
  Copyright terms: Public domain W3C validator