ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz1b GIF version

Theorem elfz1b 9053
Description: Membership in a 1 based finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz1b (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀))

Proof of Theorem elfz1b
StepHypRef Expression
1 elfz2 8982 . 2 (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)))
2 simpl 106 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 0red 7085 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
4 1red 7099 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
5 zre 8305 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
63, 4, 53jca 1095 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
76adantr 265 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8 0lt1 7201 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
98a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 1)
10 simpr 107 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁)
11 ltletr 7165 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
1211imp 119 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁)) → 0 < 𝑁)
137, 9, 10, 12syl12anc 1144 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
14 elnnz 8311 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
152, 13, 14sylanbrc 402 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
1615ex 112 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
17163ad2ant3 938 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑁𝑁 ∈ ℕ))
1817com12 30 . . . . . 6 (1 ≤ 𝑁 → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ))
1918adantr 265 . . . . 5 ((1 ≤ 𝑁𝑁𝑀) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ))
2019impcom 120 . . . 4 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
21 zre 8305 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22 zre 8305 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2321, 5, 223anim123i 1100 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
24233com23 1121 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
25 letr 7159 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑁𝑁𝑀) → 1 ≤ 𝑀))
2624, 25syl 14 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑁𝑁𝑀) → 1 ≤ 𝑀))
27 simpl 106 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
28 0red 7085 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 ∈ ℝ)
29 1red 7099 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
3022adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
318a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 < 1)
32 simpr 107 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀)
3328, 29, 30, 31, 32ltletrd 7491 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 < 𝑀)
34 elnnz 8311 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
3527, 33, 34sylanbrc 402 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
3635ex 112 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
37363ad2ant2 937 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
3826, 37syld 44 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑁𝑁𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ))
3938imp 119 . . . 4 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
40 simprr 492 . . . 4 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)) → 𝑁𝑀)
4120, 39, 403jca 1095 . . 3 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀))
42 1zzd 8328 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 1 ∈ ℤ)
43 nnz 8320 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
44433ad2ant2 937 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
45 nnz 8320 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
46453ad2ant1 936 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4742, 44, 463jca 1095 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
48 nnge1 8012 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
49483ad2ant1 936 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 1 ≤ 𝑁)
50 simp3 917 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑁𝑀)
5147, 49, 50jca32 297 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)))
5241, 51impbii 121 . 2 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀))
531, 52bitri 177 1 (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 896  wcel 1409   class class class wbr 3791  (class class class)co 5539  cr 6945  0cc0 6946  1c1 6947   < clt 7118  cle 7119  cn 7989  cz 8301  ...cfz 8975
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-addass 7043  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-ltadd 7057
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-inn 7990  df-z 8302  df-fz 8976
This theorem is referenced by:  ubmelfzo  9157
  Copyright terms: Public domain W3C validator