Theorem elfz1b 9870

Description: Membership in a 1 based finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1b	⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))

Proof of Theorem elfz1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 9797	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
2		simpl 108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		0red 7767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
4		1red 7781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
5		zre 9058	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	3jca 1161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7	6	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8		0lt1 7889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 1)
10		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑁)
11		ltletr 7853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
12	11	imp 123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁)) → 0 < 𝑁)
13	7, 9, 10, 12	syl12anc 1214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
14		elnnz 9064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
15	2, 13, 14	sylanbrc 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
16	15	ex 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
17	16	3ad2ant3 1004	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ))
18	17	com12 30	. . . . . 6 ⊢ (1 ≤ 𝑁 → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ))
19	18	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ))
20	19	impcom 124	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
21		zre 9058	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22		zre 9058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
23	21, 5, 22	3anim123i 1166	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
24	23	3com23 1187	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
25		letr 7847	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀))
26	24, 25	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀))
27		simpl 108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
28		0red 7767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 ∈ ℝ)
29		1red 7781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
30	22	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
31	8	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 < 1)
32		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀)
33	28, 29, 30, 31, 32	ltletrd 8185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 < 𝑀)
34		elnnz 9064	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
35	27, 33, 34	sylanbrc 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
36	35	ex 114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
37	36	3ad2ant2 1003	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
38	26, 37	syld 45	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ))
39	38	imp 123	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
40		simprr 521	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → 𝑁 ≤ 𝑀)
41	20, 39, 40	3jca 1161	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
42		1zzd 9081	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
43		nnz 9073	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
44	43	3ad2ant2 1003	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
45		nnz 9073	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
46	45	3ad2ant1 1002	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
47	42, 44, 46	3jca 1161	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
48		nnge1 8743	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
49	48	3ad2ant1 1002	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑁)
50		simp3 983	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀)
51	47, 49, 50	jca32 308	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
52	41, 51	impbii 125	. 2 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
53	1, 52	bitri 183	1 ⊢ (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621   < clt 7800   ≤ cle 7801  ℕcn 8720  ℤcz 9054  ...cfz 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-z 9055  df-fz 9791

This theorem is referenced by:  ubmelfzo  9977  cvgcmp2nlemabs  13227