ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzle1 GIF version

Theorem elfzle1 8993
Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzle1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐾)

Proof of Theorem elfzle1
StepHypRef Expression
1 elfzuz 8988 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzle 8581 . 2 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝐾)
31, 2syl 14 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐾)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1409   class class class wbr 3792  cfv 4930  (class class class)co 5540  cle 7120  cuz 8569  ...cfz 8976
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-neg 7248  df-z 8303  df-uz 8570  df-fz 8977
This theorem is referenced by:  elfz1eq  9001  fzdisj  9018  elfznn  9020  fznatpl1  9040  fznn0sub2  9087  fz0fzdiffz0  9089  difelfznle  9095  bcval4  9620
  Copyright terms: Public domain W3C validator