ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzle1 GIF version

Theorem elfzle1 9775
Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzle1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐾)

Proof of Theorem elfzle1
StepHypRef Expression
1 elfzuz 9770 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzle 9306 . 2 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝐾)
31, 2syl 14 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐾)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1465   class class class wbr 3899  cfv 5093  (class class class)co 5742  cle 7769  cuz 9294  ...cfz 9758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-neg 7904  df-z 9023  df-uz 9295  df-fz 9759
This theorem is referenced by:  elfz1eq  9783  fzdisj  9800  elfznn  9802  fznatpl1  9824  fznn0sub2  9873  fz0fzdiffz0  9875  difelfznle  9880  iseqf1olemqcl  10227  iseqf1olemnab  10229  iseqf1olemab  10230  seq3f1olemqsumkj  10239  seq3f1olemqsumk  10240  seq3f1olemqsum  10241  bcval4  10466  seq3coll  10553  fsum0diaglem  11177  cvgratnnlemabsle  11264  cvgratnnlemrate  11267  mertenslemi1  11272  hashdvds  11824  inffz  13165
  Copyright terms: Public domain W3C validator