Theorem elfzle2 9808

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 9803	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 9338	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ≤ cle 7801  ℤ_≥cuz 9326  ...cfz 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-neg 7936  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791

This theorem is referenced by:  elfz1eq  9815  fzdisj  9832  fznatpl1  9856  fzp1disj  9860  uzdisj  9873  fzneuz  9881  fznuz  9882  elfzmlbm  9908  difelfznle  9912  nn0disj  9915  iseqf1olemqcl  10259  iseqf1olemnab  10261  iseqf1olemab  10262  iseqf1olemqk  10267  iseqf1olemfvp  10270  seq3f1olemqsumkj  10271  seq3f1olemqsumk  10272  seq3f1olemqsum  10273  seq3f1oleml  10276  seq3f1o  10277  bcval4  10498  bcp1nk  10508  zfz1isolemiso  10582  seq3coll  10585  summodclem3  11149  summodclem2a  11150  fsum3  11156  fsumcl2lem  11167  fsum0diaglem  11209  mertenslemi1  11304  prodmodclem3  11344  prodmodclem2a  11345  fzm1ndvds  11554  prmind2  11801  prmdvdsfz  11819  hashdvds  11897  ennnfonelemim  11937  ctinfomlemom  11940  supfz  13237