ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzonelfzo GIF version

Theorem elfzonelfzo 9975
Description: If an element of a half-open integer range is not contained in the lower subrange, it must be in the upper subrange. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzonelfzo (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))

Proof of Theorem elfzonelfzo
StepHypRef Expression
1 elfzo2 9895 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅))
2 simpr 109 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 eluzelz 9303 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
433ad2ant1 987 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) → 𝐾 ∈ ℤ)
54ad2antrr 479 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
63adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
7 eluzel2 9299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
87adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
9 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 elfzo 9894 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
116, 8, 9, 10syl3anc 1201 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
12 eluzle 9306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝐾)
1312adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀𝐾)
1413biantrurd 303 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
1511, 14bitr4d 190 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝐾 < 𝑁))
1615notbid 641 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ ¬ 𝐾 < 𝑁))
179zred 9141 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
186zred 9141 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
1917, 18lenltd 7848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑁))
2016, 19bitr4d 190 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑁𝐾))
2120biimpd 143 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁𝐾))
2221ex 114 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁𝐾)))
2322com23 78 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝐾)))
24233ad2ant1 987 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) → (¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝐾)))
2524imp31 254 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁𝐾)
26 eluz2 9300 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝐾))
272, 5, 25, 26syl3anbrc 1150 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑁))
28 simpll2 1006 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℤ)
29 simpll3 1007 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 < 𝑅)
30 elfzo2 9895 . . . . 5 (𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅))
3127, 28, 29, 30syl3anbrc 1150 . . . 4 ((((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅))
3231ex 114 . . 3 (((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))
331, 32sylanb 282 . 2 ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))
3433com12 30 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑅) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑁..^𝑅)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 947  wcel 1465   class class class wbr 3899  cfv 5093  (class class class)co 5742   < clt 7768  cle 7769  cz 9022  cuz 9294  ..^cfzo 9887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-fz 9759  df-fzo 9888
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator