Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elinp GIF version

Theorem elinp 6457
 Description: Membership in positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
elinp (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐿   𝑈,𝑞,𝑟

Proof of Theorem elinp
Dummy variables u 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 npsspw 6454 . . . . 5 P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
21sseli 2935 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈 P → ⟨𝐿, 𝑈 (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3 opelxp 4317 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈 (𝒫 Q × 𝒫 Q) ↔ (𝐿 𝒫 Q 𝑈 𝒫 Q))
42, 3sylib 127 . . 3 (⟨𝐿, 𝑈 P → (𝐿 𝒫 Q 𝑈 𝒫 Q))
5 elex 2560 . . . 4 (𝐿 𝒫 Q𝐿 V)
6 elex 2560 . . . 4 (𝑈 𝒫 Q𝑈 V)
75, 6anim12i 321 . . 3 ((𝐿 𝒫 Q 𝑈 𝒫 Q) → (𝐿 V 𝑈 V))
84, 7syl 14 . 2 (⟨𝐿, 𝑈 P → (𝐿 V 𝑈 V))
9 nqex 6347 . . . . 5 Q V
109ssex 3885 . . . 4 (𝐿Q𝐿 V)
119ssex 3885 . . . 4 (𝑈Q𝑈 V)
1210, 11anim12i 321 . . 3 ((𝐿Q 𝑈Q) → (𝐿 V 𝑈 V))
1312ad2antrr 457 . 2 ((((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))) → (𝐿 V 𝑈 V))
14 df-inp 6449 . . . 4 P = {⟨𝑙, u⟩ ∣ (((𝑙Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝑙 𝑟 Q 𝑟 u)) ((𝑞 Q (𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝑙 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝑙 𝑟 u))))}
1514eleq2i 2101 . . 3 (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ ⟨𝐿, 𝑈 {⟨𝑙, u⟩ ∣ (((𝑙Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝑙 𝑟 Q 𝑟 u)) ((𝑞 Q (𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝑙 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝑙 𝑟 u))))})
16 sseq1 2960 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (𝑙Q𝐿Q))
1716anbi1d 438 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑙Q uQ) ↔ (𝐿Q uQ)))
18 eleq2 2098 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → (𝑞 𝑙𝑞 𝐿))
1918rexbidv 2321 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (𝑞 Q 𝑞 𝑙𝑞 Q 𝑞 𝐿))
2019anbi1d 438 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 Q 𝑞 𝑙 𝑟 Q 𝑟 u) ↔ (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 u)))
2117, 20anbi12d 442 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 → (((𝑙Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝑙 𝑟 Q 𝑟 u)) ↔ ((𝐿Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 u))))
22 eleq2 2098 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝐿 → (𝑟 𝑙𝑟 𝐿))
2322anbi2d 437 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)))
2423rexbidv 2321 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝐿 → (𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙) ↔ 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)))
2518, 24bibi12d 224 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) ↔ (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿))))
2625ralbidv 2320 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (𝑞 Q (𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) ↔ 𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿))))
2726anbi1d 438 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 Q (𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) ↔ (𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u)))))
2818anbi1d 438 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 𝑙 𝑞 u) ↔ (𝑞 𝐿 𝑞 u)))
2928notbid 591 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (¬ (𝑞 𝑙 𝑞 u) ↔ ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u)))
3029ralbidv 2320 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → (𝑞 Q ¬ (𝑞 𝑙 𝑞 u) ↔ 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u)))
3118orbi1d 704 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 𝑙 𝑟 u) ↔ (𝑞 𝐿 𝑟 u)))
3231imbi2d 219 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝑙 𝑟 u)) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u))))
33322ralbidv 2342 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → (𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝑙 𝑟 u)) ↔ 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u))))
3427, 30, 333anbi123d 1206 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 → (((𝑞 Q (𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝑙 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝑙 𝑟 u))) ↔ ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u)))))
3521, 34anbi12d 442 . . . 4 (𝑙 = 𝐿 → ((((𝑙Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝑙 𝑟 Q 𝑟 u)) ((𝑞 Q (𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝑙 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝑙 𝑟 u)))) ↔ (((𝐿Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 u)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u))))))
36 sseq1 2960 . . . . . . 7 (u = 𝑈 → (uQ𝑈Q))
3736anbi2d 437 . . . . . 6 (u = 𝑈 → ((𝐿Q uQ) ↔ (𝐿Q 𝑈Q)))
38 eleq2 2098 . . . . . . . 8 (u = 𝑈 → (𝑟 u𝑟 𝑈))
3938rexbidv 2321 . . . . . . 7 (u = 𝑈 → (𝑟 Q 𝑟 u𝑟 Q 𝑟 𝑈))
4039anbi2d 437 . . . . . 6 (u = 𝑈 → ((𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 u) ↔ (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)))
4137, 40anbi12d 442 . . . . 5 (u = 𝑈 → (((𝐿Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 u)) ↔ ((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈))))
42 eleq2 2098 . . . . . . . . . . 11 (u = 𝑈 → (𝑞 u𝑞 𝑈))
4342anbi2d 437 . . . . . . . . . 10 (u = 𝑈 → ((𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈)))
4443rexbidv 2321 . . . . . . . . 9 (u = 𝑈 → (𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u) ↔ 𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈)))
4538, 44bibi12d 224 . . . . . . . 8 (u = 𝑈 → ((𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u)) ↔ (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))))
4645ralbidv 2320 . . . . . . 7 (u = 𝑈 → (𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u)) ↔ 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))))
4746anbi2d 437 . . . . . 6 (u = 𝑈 → ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) ↔ (𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈)))))
4842anbi2d 437 . . . . . . . 8 (u = 𝑈 → ((𝑞 𝐿 𝑞 u) ↔ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈)))
4948notbid 591 . . . . . . 7 (u = 𝑈 → (¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u) ↔ ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈)))
5049ralbidv 2320 . . . . . 6 (u = 𝑈 → (𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u) ↔ 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈)))
5138orbi2d 703 . . . . . . . 8 (u = 𝑈 → ((𝑞 𝐿 𝑟 u) ↔ (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))
5251imbi2d 219 . . . . . . 7 (u = 𝑈 → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u)) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈))))
53522ralbidv 2342 . . . . . 6 (u = 𝑈 → (𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u)) ↔ 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈))))
5447, 50, 533anbi123d 1206 . . . . 5 (u = 𝑈 → (((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u))) ↔ ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))))
5541, 54anbi12d 442 . . . 4 (u = 𝑈 → ((((𝐿Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 u)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 u)))) ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈))))))
5635, 55opelopabg 3996 . . 3 ((𝐿 V 𝑈 V) → (⟨𝐿, 𝑈 {⟨𝑙, u⟩ ∣ (((𝑙Q uQ) (𝑞 Q 𝑞 𝑙 𝑟 Q 𝑟 u)) ((𝑞 Q (𝑞 𝑙𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝑙)) 𝑟 Q (𝑟 u𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 u))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝑙 𝑞 u) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝑙 𝑟 u))))} ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈))))))
5715, 56syl5bb 181 . 2 ((𝐿 V 𝑈 V) → (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈))))))
588, 13, 57pm5.21nii 619 1 (⟨𝐿, 𝑈 P ↔ (((𝐿Q 𝑈Q) (𝑞 Q 𝑞 𝐿 𝑟 Q 𝑟 𝑈)) ((𝑞 Q (𝑞 𝐿𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑟 𝐿)) 𝑟 Q (𝑟 𝑈𝑞 Q (𝑞 <Q 𝑟 𝑞 𝑈))) 𝑞 Q ¬ (𝑞 𝐿 𝑞 𝑈) 𝑞 Q 𝑟 Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 𝐿 𝑟 𝑈)))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  ∃wrex 2301  Vcvv 2551   ⊆ wss 2911  𝒫 cpw 3351  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755  {copab 3808   × cxp 4286  Qcnq 6264
 Copyright terms: Public domain W3C validator