ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elni2 GIF version

Theorem elni2 7090
Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 27-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
elni2 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem elni2
StepHypRef Expression
1 pinn 7085 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 0npi 7089 . . . . . 6 ¬ ∅ ∈ N
3 eleq1 2180 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐴N ↔ ∅ ∈ N))
42, 3mtbiri 649 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴N)
54con2i 601 . . . 4 (𝐴N → ¬ 𝐴 = ∅)
6 0elnn 4502 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
71, 6syl 14 . . . . 5 (𝐴N → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
87ord 698 . . . 4 (𝐴N → (¬ 𝐴 = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
95, 8mpd 13 . . 3 (𝐴N → ∅ ∈ 𝐴)
101, 9jca 304 . 2 (𝐴N → (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
11 nndceq0 4501 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → DECID 𝐴 = ∅)
12 df-dc 805 . . . . . 6 (DECID 𝐴 = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅))
1311, 12sylib 121 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅))
1413anim1i 338 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
15 ancom 264 . . . . 5 ((∅ ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅)) ↔ ((𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
16 andi 792 . . . . 5 ((∅ ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅)) ↔ ((∅ ∈ 𝐴𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)))
1715, 16bitr3i 185 . . . 4 (((𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ((∅ ∈ 𝐴𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)))
1814, 17sylib 121 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((∅ ∈ 𝐴𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)))
19 noel 3337 . . . . . . . . 9 ¬ ∅ ∈ ∅
20 eleq2 2181 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → (∅ ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ ∅))
2119, 20mtbiri 649 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
2221pm2.21d 593 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (∅ ∈ 𝐴𝐴N))
2322impcom 124 . . . . . 6 ((∅ ∈ 𝐴𝐴 = ∅) → 𝐴N)
2423a1i 9 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → ((∅ ∈ 𝐴𝐴 = ∅) → 𝐴N))
25 df-ne 2286 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
26 elni 7084 . . . . . . . 8 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2726simplbi2 382 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴N))
2825, 27syl5bir 152 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴N))
2928adantld 276 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴N))
3024, 29jaod 691 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (((∅ ∈ 𝐴𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)) → 𝐴N))
3130adantr 274 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (((∅ ∈ 𝐴𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)) → 𝐴N))
3218, 31mpd 13 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴N)
3310, 32impbii 125 1 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 682  DECID wdc 804   = wceq 1316  wcel 1465  wne 2285  c0 3333  ωcom 4474  Ncnpi 7048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-uni 3707  df-int 3742  df-suc 4263  df-iom 4475  df-ni 7080
This theorem is referenced by:  addclpi  7103  mulclpi  7104  mulcanpig  7111  addnidpig  7112  ltexpi  7113  ltmpig  7115  nnppipi  7119  archnqq  7193  enq0tr  7210
  Copyright terms: Public domain W3C validator