Theorem elnn 4519

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem elnn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3120	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ⊆ ω ↔ ∅ ⊆ ω))
2		sseq1 3120	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ⊆ ω ↔ 𝑥 ⊆ ω))
3		sseq1 3120	. . 3 ⊢ (𝑦 = suc 𝑥 → (𝑦 ⊆ ω ↔ suc 𝑥 ⊆ ω))
4		sseq1 3120	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ⊆ ω ↔ 𝐵 ⊆ ω))
5		0ss 3401	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ω
6		unss 3250	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ⊆ ω ∧ {𝑥} ⊆ ω) ↔ (𝑥 ∪ {𝑥}) ⊆ ω)
7		vex 2689	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	snss 3649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↔ {𝑥} ⊆ ω)
9	8	anbi2i 452	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ {𝑥} ⊆ ω))
10		df-suc 4293	. . . . . . 7 ⊢ suc 𝑥 = (𝑥 ∪ {𝑥})
11	10	sseq1i 3123	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝑥 ⊆ ω ↔ (𝑥 ∪ {𝑥}) ⊆ ω)
12	6, 9, 11	3bitr4i 211	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) ↔ suc 𝑥 ⊆ ω)
13	12	biimpi 119	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → suc 𝑥 ⊆ ω)
14	13	expcom 115	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ⊆ ω → suc 𝑥 ⊆ ω))
15	1, 2, 3, 4, 5, 14	finds 4514	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ⊆ ω)
16		ssel2 3092	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ω)
17	16	ancoms 266	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ω) → 𝐴 ∈ ω)
18	15, 17	sylan2 284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480   ∪ cun 3069   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363  {csn 3527  suc csuc 4287  ωcom 4504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-int 3772  df-suc 4293  df-iom 4505

This theorem is referenced by:  ordom  4520  peano2b  4528  nntr2  6399  nndifsnid  6403  nnaordi  6404  nnmordi  6412  fidceq  6763  nnwetri  6804  enumctlemm  6999  ennnfonelemdm  11933  ennnfonelemnn0  11935  nnti  13191  nninfsellemdc  13206  nninfsellemeq  13210  nninfsellemeqinf  13212