Theorem elnn0 8979

Description: Nonnegative integers expressed in terms of naturals and zero. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem elnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 8978	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2	1	eleq2i 2206	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐴 ∈ (ℕ ∪ {0}))
3		elun 3217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ ∪ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 ∈ {0}))
4		c0ex 7760	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
5	4	elsn2 3559	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0)
6	5	orbi2i 751	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 ∈ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
7	2, 3, 6	3bitri 205	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ∪ cun 3069  {csn 3527  0cc0 7620  ℕcn 8720  ℕ₀cn0 8977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-mulcl 7718  ax-i2m1 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-n0 8978

This theorem is referenced by:  0nn0  8992  nn0ge0  9002  nnnn0addcl  9007  nnm1nn0  9018  elnnnn0b  9021  elnn0z  9067  elznn0nn  9068  elznn0  9069  elznn  9070  nn0ind-raph  9168  nn0ledivnn  9554  expp1  10300  expnegap0  10301  expcllem  10304  facp1  10476  faclbnd  10487  faclbnd3  10489  bcn1  10504  bcval5  10509  hashnncl  10542  fz1f1o  11144  arisum  11267  arisum2  11268  ef0lem  11366  nn0enne  11599  nn0o1gt2  11602  dfgcd2  11702  mulgcd  11704  eucalgf  11736  eucalginv  11737  prmdvdsexpr  11828  rpexp1i  11832  nn0gcdsq  11878  dvexp2  12845