Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnnz GIF version

Theorem elnnz 8312
 Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
elnnz (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))

Proof of Theorem elnnz
StepHypRef Expression
1 nnre 7997 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 orc 643 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
3 nngt0 8015 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
41, 2, 3jca31 296 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁))
5 idd 21 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ))
6 lt0neg2 7538 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 ↔ -𝑁 < 0))
7 renegcl 7335 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → -𝑁 ∈ ℝ)
8 0re 7085 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
9 ltnsym 7163 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
107, 8, 9sylancl 398 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
116, 10sylbid 143 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → ¬ 0 < -𝑁))
1211imp 119 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 0 < -𝑁)
13 nngt0 8015 . . . . . . . . . 10 (-𝑁 ∈ ℕ → 0 < -𝑁)
1412, 13nsyl 568 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ -𝑁 ∈ ℕ)
15 gt0ne0 7496 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
1615neneqd 2241 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
17 ioran 679 . . . . . . . . 9 (¬ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ (¬ -𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 0))
1814, 16, 17sylanbrc 402 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
1918pm2.21d 559 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ((-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ))
205, 19jaod 647 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ))
2120ex 112 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ)))
2221com23 76 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ)))
2322imp31 247 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
244, 23impbii 121 . 2 (𝑁 ∈ ℕ ↔ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁))
25 elz 8304 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
26 3orrot 902 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
27 3orass 899 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
2826, 27bitri 177 . . . . 5 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
2928anbi2i 438 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
3025, 29bitri 177 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
3130anbi1i 439 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁))
3224, 31bitr4i 180 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   ∨ wo 639   ∨ w3o 895   = wceq 1259   ∈ wcel 1409   class class class wbr 3792  ℝcr 6946  0cc0 6947   < clt 7119  -cneg 7246  ℕcn 7990  ℤcz 8302 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-z 8303 This theorem is referenced by:  nnssz  8319  elnnz1  8325  znnsub  8353  nn0ge0div  8385  msqznn  8397  elfz1b  9054  lbfzo0  9139  fzo1fzo0n0  9141  elfzo0z  9142  fzofzim  9146  elfzodifsumelfzo  9159  expival  9422  nnesq  9536  nnabscl  9927  nndivdvds  10114  oddge22np1  10193  evennn2n  10195  nno  10218  nnoddm1d2  10222  divalglemex  10234  divalglemeuneg  10235  divalg  10236  ndvdsadd  10243  sqr2irrlem  10250
 Copyright terms: Public domain W3C validator