ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnnz1 GIF version

Theorem elnnz1 8491
Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
elnnz1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnnz1
StepHypRef Expression
1 nnz 8487 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2 nnge1 8165 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
31, 2jca 300 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))
4 0lt1 7339 . . . . 5 0 < 1
5 zre 8472 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6 0re 7217 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
7 1re 7216 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
8 ltletr 7303 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
96, 7, 8mp3an12 1259 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
105, 9syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
114, 10mpani 421 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
1211imdistani 434 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
13 elnnz 8478 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
1412, 13sylibr 132 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
153, 14impbii 124 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wcel 1434   class class class wbr 3806  cr 7078  0cc0 7079  1c1 7080   < clt 7251  cle 7252  cn 8142  cz 8468
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-addcom 7174  ax-addass 7176  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-ltadd 7190
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-inn 8143  df-z 8469
This theorem is referenced by:  nnzrab  8492  znnnlt1  8516  eluz2b2  8807  elfznn  9185  flqge1nn  9412  resqrexlemdecn  10083  oddennn  10796
  Copyright terms: Public domain W3C validator