Theorem elpri 3545

Description: If a class is an element of a pair, then it is one of the two paired elements. (Contributed by Scott Fenton, 1-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
elpri	⊢ (𝐴 ∈ {𝐵, 𝐶} → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶))

Proof of Theorem elpri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprg 3542	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ {𝐵, 𝐶} ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶)))
2	1	ibi 175	1 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵, 𝐶} → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {cpr 3523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070  df-sn 3528  df-pr 3529

This theorem is referenced by:  nelpri  3546  nelprd  3548  opth1  4153  0nelop  4165  ontr2exmid  4435  onintexmid  4482  reg3exmidlemwe  4488  funtpg  5169  ftpg  5597  acexmidlemcase  5762  2oconcl  6329  en2eqpr  6794  eldju1st  6949  finomni  7005  exmidomniim  7006  ismkvnex  7022  exmidonfinlem  7042  exmidfodomrlemr  7051  exmidfodomrlemrALT  7052  exmidaclem  7057  sup3exmid  8708  m1expcl2  10308  maxleim  10970  maxleast  10978  zmaxcl  10989  minmax  10994  xrmaxleim  11006  xrmaxaddlem  11022  xrminmax  11027  unct  11943  qtopbas  12680  limcimolemlt  12791  recnprss  12814  coseq0negpitopi  12906  el2oss1o  13177  nninfalllem1  13192  nninfall  13193  nninfsellemqall  13200  nninfomnilem  13203  isomninnlem  13214  trilpolemclim  13218  trilpolemcl  13219  trilpolemisumle  13220  trilpolemeq1  13222  trilpolemlt1  13223