Theorem elprnql 6464

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ B ∈ 𝐿) → B ∈ Q)

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 6462	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)
2	1	sselda 2939	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ B ∈ 𝐿) → B ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1390  ⟨cop 3370  Qcnq 6264  Pcnp 6275

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-qs 6048  df-ni 6288  df-nqqs 6332  df-inp 6449

This theorem is referenced by:  prubl  6469  prnmaxl  6471  prarloclemlt  6476  prarloclemlo  6477  prarloclem5  6483  genpdf  6491  genipv  6492  genpelvl  6495  genpml  6500  genprndl  6504  genpassl  6507  addnqprllem  6510  addnqprl  6512  addlocprlemeqgt  6515  addlocprlemgt  6517  addlocprlem  6518  nqprl  6533  prmuloc  6547  mulnqprl  6549  addcomprg  6554  mulcomprg  6556  distrlem1prl  6558  distrlem4prl  6560  1idprl  6566  ltsopr  6570  ltexprlemm  6574  ltexprlemopl  6575  ltexprlemopu  6577  ltexprlemupu  6578  ltexprlemdisj  6580  ltexprlemloc  6581  ltexprlemfl  6583  ltexprlemrl  6584  ltexprlemfu  6585  ltexprlemru  6586  addcanprleml  6588  addcanprlemu  6589  recexprlemloc  6603  recexprlem1ssl  6605  recexprlem1ssu  6606  recexprlemss1l  6607  aptiprleml  6611  aptiprlemu  6612