Theorem elprnql 7282

Description: An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnql 7280	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝐿 ⊆ Q)
2	1	sselda 3092	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480  ⟨cop 3525  Qcnq 7081  Pcnp 7092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-qs 6428  df-ni 7105  df-nqqs 7149  df-inp 7267

This theorem is referenced by:  prubl  7287  prnmaxl  7289  prarloclemlt  7294  prarloclemlo  7295  prarloclem5  7301  genpdf  7309  genipv  7310  genpelvl  7313  genpml  7318  genprndl  7322  genpassl  7325  addnqprllem  7328  addnqprl  7330  addlocprlemeqgt  7333  addlocprlemgt  7335  addlocprlem  7336  nqprl  7352  prmuloc  7367  mulnqprl  7369  addcomprg  7379  mulcomprg  7381  distrlem1prl  7383  distrlem4prl  7385  1idprl  7391  ltsopr  7397  ltexprlemm  7401  ltexprlemopl  7402  ltexprlemopu  7404  ltexprlemupu  7405  ltexprlemdisj  7407  ltexprlemloc  7408  ltexprlemfl  7410  ltexprlemrl  7411  ltexprlemfu  7412  ltexprlemru  7413  addcanprleml  7415  addcanprlemu  7416  recexprlemloc  7432  recexprlem1ssl  7434  recexprlem1ssu  7435  recexprlemss1l  7436  aptiprleml  7440  aptiprlemu  7441  caucvgprprlemopl  7498  suplocexprlemex  7523