ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elrab2 GIF version

Theorem elrab2 2760
Description: Membership in a class abstraction, using implicit substitution. (Contributed by NM, 2-Nov-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
elrab2.1 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
elrab2.2 𝐶 = {𝑥𝐵𝜑}
Assertion
Ref Expression
elrab2 (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐵𝜓))
Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem elrab2
StepHypRef Expression
1 elrab2.2 . . 3 𝐶 = {𝑥𝐵𝜑}
21eleq2i 2149 . 2 (𝐴𝐶𝐴 ∈ {𝑥𝐵𝜑})
3 elrab2.1 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
43elrab 2757 . 2 (𝐴 ∈ {𝑥𝐵𝜑} ↔ (𝐴𝐵𝜓))
52, 4bitri 182 1 (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐵𝜓))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  {crab 2357
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-rab 2362  df-v 2612
This theorem is referenced by:  elrabsf  2861  pwnss  3953  regexmidlemm  4303  regexmidlem1  4304  reg2exmidlema  4305  tfis  4352  ltexprlemell  6920  ltexprlemelu  6921  cauappcvgprlemm  6967  cauappcvgprlemopl  6968  cauappcvgprlemlol  6969  cauappcvgprlemopu  6970  cauappcvgprlemupu  6971  cauappcvgprlemdisj  6973  cauappcvgprlemloc  6974  cauappcvgprlemladdfu  6976  cauappcvgprlemladdfl  6977  cauappcvgprlemladdru  6978  cauappcvgprlemladdrl  6979  cauappcvgprlem2  6982  caucvgprlemm  6990  caucvgprlemopl  6991  caucvgprlemlol  6992  caucvgprlemopu  6993  caucvgprlemupu  6994  caucvgprlemdisj  6996  caucvgprlemloc  6997  caucvgprlemladdfu  6999  caucvgprlem2  7002  caucvgprprlemell  7007  caucvgprprlemelu  7008  caucvgprprlemml  7016  caucvgprprlemmu  7017  caucvgprprlemexbt  7028  caucvgprprlem2  7032  elz  8504  elrp  8887  repos  9139  isprm  10716  oddpwdc  10777  sqpweven  10778  2sqpwodd  10779  phimullem  10826  hashgcdlem  10828  qdencn  11070
  Copyright terms: Public domain W3C validator