ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elrab2 GIF version

Theorem elrab2 2722
Description: Membership in a class abstraction, using implicit substitution. (Contributed by NM, 2-Nov-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
elrab2.1 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
elrab2.2 𝐶 = {𝑥𝐵𝜑}
Assertion
Ref Expression
elrab2 (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐵𝜓))
Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem elrab2
StepHypRef Expression
1 elrab2.2 . . 3 𝐶 = {𝑥𝐵𝜑}
21eleq2i 2120 . 2 (𝐴𝐶𝐴 ∈ {𝑥𝐵𝜑})
3 elrab2.1 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
43elrab 2720 . 2 (𝐴 ∈ {𝑥𝐵𝜑} ↔ (𝐴𝐵𝜓))
52, 4bitri 177 1 (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐵𝜓))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wcel 1409  {crab 2327
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-rab 2332  df-v 2576
This theorem is referenced by:  elrabsf  2823  pwnss  3939  regexmidlemm  4284  regexmidlem1  4285  reg2exmidlema  4286  tfis  4333  ltexprlemell  6753  ltexprlemelu  6754  cauappcvgprlemm  6800  cauappcvgprlemopl  6801  cauappcvgprlemlol  6802  cauappcvgprlemopu  6803  cauappcvgprlemupu  6804  cauappcvgprlemdisj  6806  cauappcvgprlemloc  6807  cauappcvgprlemladdfu  6809  cauappcvgprlemladdfl  6810  cauappcvgprlemladdru  6811  cauappcvgprlemladdrl  6812  cauappcvgprlem2  6815  caucvgprlemm  6823  caucvgprlemopl  6824  caucvgprlemlol  6825  caucvgprlemopu  6826  caucvgprlemupu  6827  caucvgprlemdisj  6829  caucvgprlemloc  6830  caucvgprlemladdfu  6832  caucvgprlem2  6835  caucvgprprlemell  6840  caucvgprprlemelu  6841  caucvgprprlemml  6849  caucvgprprlemmu  6850  caucvgprprlemexbt  6861  caucvgprprlem2  6865  elz  8303  elrp  8682  repos  8939  oddpwdc  10234  qdencn  10483
  Copyright terms: Public domain W3C validator