Theorem elrabd 2837

Description: Membership in a restricted class abstraction, using implicit substitution. Deduction version of elrab 2835. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrabd.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
elrabd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
elrabd.3	⊢ (𝜑 → 𝜒)

Assertion

Ref	Expression
elrabd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜒,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem elrabd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		elrabd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
3	1, 2	jca 304	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒))
4		elrabd.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜒))
5	4	elrab 2835	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓} ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒))
6	3, 5	sylibr 133	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {crab 2418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-rab 2423  df-v 2683

This theorem is referenced by:  ctssdccl  6989  suplocexprlemru  7520  suplocexprlemloc  7522  znnen  11900  ennnfonelemj0  11903  ennnfonelemg  11905  cdivcncfap  12745  cnopnap  12752  ivthinc  12779  limcdifap  12789  limcimolemlt  12791  dvcoapbr  12829  subctctexmid  13185