Theorem elsn 3538

Description: There is exactly one element in a singleton. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 15. (Contributed by NM, 13-Sep-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
elsn.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elsn	⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem elsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsn.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		elsng 3537	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ {𝐵} ↔ 𝐴 = 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} ↔ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681  {csn 3522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-sn 3528

This theorem is referenced by:  velsn  3539  sneqr  3682  onsucelsucexmid  4440  ordsoexmid  4472  opthprc  4585  dmsnm  4999  dmsnopg  5005  cnvcnvsn  5010  sniota  5110  fsn  5585  eusvobj2  5753  mapdm0  6550  djulclb  6933  opelreal  7628