Theorem eluzgtdifelfzo 9967

Description: Membership of the difference of integers in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzgtdifelfzo	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑁 − 𝐴) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐵))))

Proof of Theorem eluzgtdifelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
2	1	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3		simpl 108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		eluzelz 9328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
7		simprr 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
8	6, 7	zsubcld 9171	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑁 − 𝐵) ∈ ℤ)
9	8	ancoms 266	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁 − 𝐵) ∈ ℤ)
10	4, 9	zaddcld 9170	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) ∈ ℤ)
11		zre 9051	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
12		zre 9051	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
13		posdif 8210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − 𝐵)))
14	13	biimpd 143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < (𝐴 − 𝐵)))
15	11, 12, 14	syl2anr 288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < (𝐴 − 𝐵)))
16	15	adantld 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < (𝐴 − 𝐵)))
17	16	imp 123	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 0 < (𝐴 − 𝐵))
18		resubcl 8019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
19	12, 11, 18	syl2an 287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
20	19	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
21		eluzelre 9329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	ad2antrl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℝ)
23	20, 22	ltaddposd 8284	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (0 < (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴 − 𝐵))))
24	17, 23	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 < (𝑁 + (𝐴 − 𝐵)))
25		zcn 9052	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
27		eluzelcn 9330	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℂ)
28	27	ad2antrl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℂ)
29		zcn 9052	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
30	29	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	30	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32		addsub12 7968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) = (𝑁 + (𝐴 − 𝐵)))
33	32	breq2d 3936	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 < (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴 − 𝐵))))
34	26, 28, 31, 33	syl3anc 1216	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁 < (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴 − 𝐵))))
35	24, 34	mpbird 166	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 < (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)))
36		elfzo2 9920	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁 − 𝐵))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (𝐴 + (𝑁 − 𝐵))))
37	2, 10, 35, 36	syl3anbrc 1165	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁 − 𝐵))))
38		fzosubel3 9966	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁 − 𝐵))) ∧ (𝑁 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐵)))
39	37, 9, 38	syl2anc 408	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐵)))
40	39	ex 114	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑁 − 𝐴) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  ℝcr 7612  0cc0 7613   + caddc 7616   < clt 7793   − cmin 7926  ℤcz 9047  ℤ_≥cuz 9319  ..^cfzo 9912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-fzo 9913

This theorem is referenced by:  ige2m2fzo  9968