Theorem eluzle 9331

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9325	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 998	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  ‘cfv 5118   ≤ cle 7794  ℤcz 9047  ℤ_≥cuz 9319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-neg 7929  df-z 9048  df-uz 9320

This theorem is referenced by:  uztrn  9335  uzneg  9337  uzss  9339  uz11  9341  eluzp1l  9343  uzm1  9349  uzin  9351  uzind4  9376  elfz5  9791  elfzle1  9800  elfzle2  9801  elfzle3  9803  uzsplit  9865  uzdisj  9866  uznfz  9876  elfz2nn0  9885  uzsubfz0  9899  nn0disj  9908  fzouzdisj  9950  elfzonelfzo  10000  mulp1mod1  10131  m1modge3gt1  10137  uzennn  10202  seq3split  10245  seq3f1olemqsumk  10265  seq3f1o  10270  seq3coll  10578  seq3shft  10603  cvg1nlemcau  10749  resqrexlemcvg  10784  resqrexlemga  10788  summodclem2a  11143  fsum3  11149  fsum3cvg3  11158  fsumadd  11168  sumsnf  11171  fsummulc2  11210  isumshft  11252  divcnv  11259  geolim2  11274  cvgratnnlemseq  11288  cvgratnnlemsumlt  11290  cvgratz  11294  mertenslemi1  11297  efcllemp  11353  infssuzex  11631  dvdsbnd  11634  ncoprmgcdne1b  11759  hashdvds  11886  cvgcmp2nlemabs  13216