Theorem eluzsubi 8595

Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
eluzaddi.1	⊢ 𝑀 ∈ ℤ
eluzaddi.2	⊢ 𝐾 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
eluzsubi	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem eluzsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 8577	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		eluzaddi.2	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
3		zsubcl 8342	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	sylancl 398	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
5		eluzaddi.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
6		zaddcl 8341	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
7	5, 2, 6	mp2an 410	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ
8	7	eluz1i 8575	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁))
9		zre 8305	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
10	5	zrei 8307	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
11	2	zrei 8307	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
12		leaddsub 7506	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
13	10, 11, 12	mp3an12 1233	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
14	9, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
15	14	biimpa 284	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾))
16	8, 15	sylbi 118	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾))
17	5	eluz1i 8575	. 2 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
18	4, 16, 17	sylanbrc 402	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   ∈ wcel 1409   class class class wbr 3791  ‘cfv 4929  (class class class)co 5539  ℝcr 6945   + caddc 6949   ≤ cle 7119   − cmin 7244  ℤcz 8301  ℤ_≥cuz 8568

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-addass 7043  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-ltadd 7057

This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-inn 7990  df-n0 8239  df-z 8302  df-uz 8569

This theorem is referenced by: (None)