ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elxrge0 GIF version

Theorem elxrge0 9154
Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elxrge0 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elxrge0
StepHypRef Expression
1 df-3an 922 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
2 0xr 7304 . . 3 0 ∈ ℝ*
3 pnfxr 7310 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
4 elicc1 9100 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ +∞)))
52, 3, 4mp2an 417 . 2 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ +∞))
6 pnfge 9017 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
76adantr 270 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
87pm4.71i 383 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
91, 5, 83bitr4i 210 1 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103  w3a 920  wcel 1434   class class class wbr 3806  (class class class)co 5565  0cc0 7120  +∞cpnf 7289  *cxr 7291  cle 7293  [,]cicc 9067
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7206  ax-resscn 7207  ax-1re 7209  ax-addrcl 7212  ax-rnegex 7224
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fv 4961  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-pnf 7294  df-mnf 7295  df-xr 7296  df-ltxr 7297  df-le 7298  df-icc 9071
This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  9156
  Copyright terms: Public domain W3C validator