ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elz2 GIF version

Theorem elz2 8369
Description: Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
elz2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑁

Proof of Theorem elz2
StepHypRef Expression
1 elznn0 8316 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
2 nn0p1nn 8277 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
32adantl 266 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
4 1nn 8000 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
54a1i 9 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ)
6 recn 7071 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
76adantr 265 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
8 ax-1cn 7034 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
9 pncan 7279 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
107, 8, 9sylancl 398 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
1110eqcomd 2061 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
12 rspceov 5574 . . . . 5 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
133, 5, 11, 12syl3anc 1146 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
144a1i 9 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ)
156adantr 265 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
16 negsub 7321 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 + -𝑁) = (1 − 𝑁))
178, 15, 16sylancr 399 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) = (1 − 𝑁))
18 simpr 107 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
19 nnnn0addcl 8268 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) ∈ ℕ)
204, 18, 19sylancr 399 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 + -𝑁) ∈ ℕ)
2117, 20eqeltrrd 2131 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 − 𝑁) ∈ ℕ)
22 nncan 7302 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑁)) = 𝑁)
238, 15, 22sylancr 399 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (1 − (1 − 𝑁)) = 𝑁)
2423eqcomd 2061 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 = (1 − (1 − 𝑁)))
25 rspceov 5574 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ ∧ (1 − 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 = (1 − (1 − 𝑁))) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
2614, 21, 24, 25syl3anc 1146 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
2713, 26jaodan 721 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
28 nnre 7996 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
29 nnre 7996 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
30 resubcl 7337 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
3128, 29, 30syl2an 277 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
32 nnz 8320 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
33 nnz 8320 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
34 zletric 8345 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝑥𝑥𝑦))
3532, 33, 34syl2anr 278 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦𝑥𝑥𝑦))
36 nnnn0 8245 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
37 nnnn0 8245 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
38 nn0sub 8367 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
3936, 37, 38syl2anr 278 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
40 nn0sub 8367 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑦𝑥) ∈ ℕ0))
4137, 36, 40syl2an 277 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑦𝑥) ∈ ℕ0))
42 nncn 7997 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
43 nncn 7997 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
44 negsubdi2 7332 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → -(𝑥𝑦) = (𝑦𝑥))
4542, 43, 44syl2an 277 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → -(𝑥𝑦) = (𝑦𝑥))
4645eleq1d 2122 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (-(𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ↔ (𝑦𝑥) ∈ ℕ0))
4741, 46bitr4d 184 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥𝑦 ↔ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
4839, 47orbi12d 717 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦𝑥𝑥𝑦) ↔ ((𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0)))
4935, 48mpbid 139 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
5031, 49jca 294 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0)))
51 eleq1 2116 . . . . . 6 (𝑁 = (𝑥𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ↔ (𝑥𝑦) ∈ ℝ))
52 eleq1 2116 . . . . . . 7 (𝑁 = (𝑥𝑦) → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
53 negeq 7266 . . . . . . . 8 (𝑁 = (𝑥𝑦) → -𝑁 = -(𝑥𝑦))
5453eleq1d 2122 . . . . . . 7 (𝑁 = (𝑥𝑦) → (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0))
5552, 54orbi12d 717 . . . . . 6 (𝑁 = (𝑥𝑦) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0)))
5651, 55anbi12d 450 . . . . 5 (𝑁 = (𝑥𝑦) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) ↔ ((𝑥𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝑥𝑦) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑥𝑦) ∈ ℕ0))))
5750, 56syl5ibrcom 150 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑁 = (𝑥𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))))
5857rexlimivv 2455 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
5927, 58impbii 121 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
601, 59bitri 177 1 (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑥𝑦))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 101  wb 102  wo 639   = wceq 1259  wcel 1409  wrex 2324   class class class wbr 3791  (class class class)co 5539  cc 6944  cr 6945  1c1 6947   + caddc 6949  cle 7119  cmin 7244  -cneg 7245  cn 7989  0cn0 8238  cz 8301
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-addass 7043  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-ltadd 7057
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-inn 7990  df-n0 8239  df-z 8302
This theorem is referenced by:  dfz2  8370
  Copyright terms: Public domain W3C validator