ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elznn GIF version

Theorem elznn 8318
Description: Integer property expressed in terms of positive integers and nonnegative integers. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
elznn (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))

Proof of Theorem elznn
StepHypRef Expression
1 elz 8304 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2 recn 7072 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
32negeq0d 7377 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
43orbi2d 714 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → ((-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 = 0)))
5 elnn0 8241 . . . . . 6 (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 = 0))
64, 5syl6rbbr 192 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
76orbi2d 714 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
8 3orrot 902 . . . . 5 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
9 3orass 899 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
108, 9bitri 177 . . . 4 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
117, 10syl6rbbr 192 . . 3 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
1211pm5.32i 435 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
131, 12bitri 177 1 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 101  wb 102  wo 639  w3o 895   = wceq 1259  wcel 1409  cr 6946  0cc0 6947  -cneg 7246  cn 7990  0cn0 8239  cz 8302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-setind 4290  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-sub 7247  df-neg 7248  df-n0 8240  df-z 8303
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator