ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en0 GIF version

Theorem en0 6365
Description: The empty set is equinumerous only to itself. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 88. (Contributed by NM, 27-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
en0 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem en0
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6317 . . 3 (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→∅)
2 f1ocnv 5192 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto→∅ → 𝑓:∅–1-1-onto𝐴)
3 f1o00 5214 . . . . . 6 (𝑓:∅–1-1-onto𝐴 ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
43simprbi 269 . . . . 5 (𝑓:∅–1-1-onto𝐴𝐴 = ∅)
52, 4syl 14 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
65exlimiv 1530 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
71, 6sylbi 119 . 2 (𝐴 ≈ ∅ → 𝐴 = ∅)
8 0ex 3926 . . . 4 ∅ ∈ V
98enref 6335 . . 3 ∅ ≈ ∅
10 breq1 3809 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
119, 10mpbiri 166 . 2 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
127, 11impbii 124 1 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 103   = wceq 1285  wex 1422  c0 3268   class class class wbr 3806  ccnv 4391  1-1-ontowf1o 4952  cen 6308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2613  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-en 6311
This theorem is referenced by:  nneneq  6415  php5  6416  snnen2oprc  6418  php5dom  6421  ssfilem  6433  dif1enen  6438  fin0  6443  fin0or  6444  diffitest  6445  findcard  6446  findcard2  6447  findcard2s  6448  diffisn  6451  fisseneq  6476  fihasheq0  9895
  Copyright terms: Public domain W3C validator