ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en2eqpr GIF version

Theorem en2eqpr 6458
Description: Building a set with two elements. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2eqpr ((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵𝐶 = {𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem en2eqpr
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6315 . . . . . 6 (𝐶 ≈ 2𝑜 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜)
21biimpi 118 . . . . 5 (𝐶 ≈ 2𝑜 → ∃𝑓 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜)
323ad2ant1 960 . . . 4 ((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) → ∃𝑓 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜)
43adantr 270 . . 3 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜)
5 simplr 497 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) → (𝑓𝑥) = ∅)
6 simpr 108 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) → (𝑓𝐵) = ∅)
75, 6eqtr4d 2118 . . . . . . . . . 10 (((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝐵))
8 f1of1 5176 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜𝑓:𝐶1-1→2𝑜)
98adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) → 𝑓:𝐶1-1→2𝑜)
109adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑓:𝐶1-1→2𝑜)
11 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
12 simpll3 980 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) → 𝐵𝐶)
1312adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵𝐶)
14 f1fveq 5463 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐶1-1→2𝑜 ∧ (𝑥𝐶𝐵𝐶)) → ((𝑓𝑥) = (𝑓𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
1510, 11, 13, 14syl12anc 1168 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝑓𝑥) = (𝑓𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
1615ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10 (((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) → ((𝑓𝑥) = (𝑓𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
177, 16mpbid 145 . . . . . . . . 9 (((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) → 𝑥 = 𝐵)
18 prid2g 3515 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐶𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
1913, 18syl 14 . . . . . . . . . 10 (((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
2019ad2antrr 472 . . . . . . . . 9 (((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
2117, 20eqeltrd 2159 . . . . . . . 8 (((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
22 simpllr 501 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → (𝑓𝑥) = ∅)
23 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → (𝑓𝐴) = ∅)
2422, 23eqtr4d 2118 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝐴))
25 simpll2 979 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) → 𝐴𝐶)
2625adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐴𝐶)
27 f1fveq 5463 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐶1-1→2𝑜 ∧ (𝑥𝐶𝐴𝐶)) → ((𝑓𝑥) = (𝑓𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
2810, 11, 26, 27syl12anc 1168 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝑓𝑥) = (𝑓𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
2928ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → ((𝑓𝑥) = (𝑓𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
3024, 29mpbid 145 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → 𝑥 = 𝐴)
31 prid1g 3514 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐶𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
3226, 31syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
3332ad3antrrr 476 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
3430, 33eqeltrd 2159 . . . . . . . . 9 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
35 simpr 108 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐴) = 1𝑜) → (𝑓𝐴) = 1𝑜)
36 simplr 497 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐴) = 1𝑜) → (𝑓𝐵) = 1𝑜)
3735, 36eqtr4d 2118 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐴) = 1𝑜) → (𝑓𝐴) = (𝑓𝐵))
38 simplr 497 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) → 𝐴𝐵)
3938neneqd 2270 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
40 f1fveq 5463 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐶1-1→2𝑜 ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝑓𝐴) = (𝑓𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
419, 25, 12, 40syl12anc 1168 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) → ((𝑓𝐴) = (𝑓𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
4239, 41mtbird 631 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) → ¬ (𝑓𝐴) = (𝑓𝐵))
4342ad4antr 478 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐴) = 1𝑜) → ¬ (𝑓𝐴) = (𝑓𝐵))
4437, 43pm2.21dd 583 . . . . . . . . 9 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐴) = 1𝑜) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
45 f1of 5177 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜𝑓:𝐶⟶2𝑜)
4645adantl 271 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) → 𝑓:𝐶⟶2𝑜)
4746, 25ffvelrnd 5355 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) → (𝑓𝐴) ∈ 2𝑜)
48 elpri 3439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝐴) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑓𝐴) = ∅ ∨ (𝑓𝐴) = 1𝑜))
49 df2o3 6098 . . . . . . . . . . . 12 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
5048, 49eleq2s 2177 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝐴) ∈ 2𝑜 → ((𝑓𝐴) = ∅ ∨ (𝑓𝐴) = 1𝑜))
5147, 50syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) → ((𝑓𝐴) = ∅ ∨ (𝑓𝐴) = 1𝑜))
5251ad3antrrr 476 . . . . . . . . 9 (((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1𝑜) → ((𝑓𝐴) = ∅ ∨ (𝑓𝐴) = 1𝑜))
5334, 44, 52mpjaodan 745 . . . . . . . 8 (((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1𝑜) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
5446, 12ffvelrnd 5355 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) → (𝑓𝐵) ∈ 2𝑜)
55 elpri 3439 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝐵) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑓𝐵) = ∅ ∨ (𝑓𝐵) = 1𝑜))
5655, 49eleq2s 2177 . . . . . . . . . 10 ((𝑓𝐵) ∈ 2𝑜 → ((𝑓𝐵) = ∅ ∨ (𝑓𝐵) = 1𝑜))
5754, 56syl 14 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) → ((𝑓𝐵) = ∅ ∨ (𝑓𝐵) = 1𝑜))
5857ad2antrr 472 . . . . . . . 8 ((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) → ((𝑓𝐵) = ∅ ∨ (𝑓𝐵) = 1𝑜))
5921, 53, 58mpjaodan 745 . . . . . . 7 ((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
60 simpr 108 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → (𝑓𝐴) = ∅)
61 simplr 497 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → (𝑓𝐵) = ∅)
6260, 61eqtr4d 2118 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → (𝑓𝐴) = (𝑓𝐵))
6342ad4antr 478 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → ¬ (𝑓𝐴) = (𝑓𝐵))
6462, 63pm2.21dd 583 . . . . . . . . 9 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
65 simpllr 501 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = 1𝑜) → (𝑓𝑥) = 1𝑜)
66 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = 1𝑜) → (𝑓𝐴) = 1𝑜)
6765, 66eqtr4d 2118 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = 1𝑜) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝐴))
6828ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = 1𝑜) → ((𝑓𝑥) = (𝑓𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
6967, 68mpbid 145 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = 1𝑜) → 𝑥 = 𝐴)
7032ad3antrrr 476 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = 1𝑜) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
7169, 70eqeltrd 2159 . . . . . . . . 9 ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = 1𝑜) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
7251ad3antrrr 476 . . . . . . . . 9 (((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) → ((𝑓𝐴) = ∅ ∨ (𝑓𝐴) = 1𝑜))
7364, 71, 72mpjaodan 745 . . . . . . . 8 (((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
74 simplr 497 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐵) = 1𝑜) → (𝑓𝑥) = 1𝑜)
75 simpr 108 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐵) = 1𝑜) → (𝑓𝐵) = 1𝑜)
7674, 75eqtr4d 2118 . . . . . . . . . 10 (((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐵) = 1𝑜) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝐵))
7715ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10 (((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐵) = 1𝑜) → ((𝑓𝑥) = (𝑓𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
7876, 77mpbid 145 . . . . . . . . 9 (((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐵) = 1𝑜) → 𝑥 = 𝐵)
7919ad2antrr 472 . . . . . . . . 9 (((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐵) = 1𝑜) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
8078, 79eqeltrd 2159 . . . . . . . 8 (((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓𝐵) = 1𝑜) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
8157ad2antrr 472 . . . . . . . 8 ((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) → ((𝑓𝐵) = ∅ ∨ (𝑓𝐵) = 1𝑜))
8273, 80, 81mpjaodan 745 . . . . . . 7 ((((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1𝑜) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
8346ffvelrnda 5354 . . . . . . . 8 (((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) → (𝑓𝑥) ∈ 2𝑜)
84 elpri 3439 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑥) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑓𝑥) = ∅ ∨ (𝑓𝑥) = 1𝑜))
8584, 49eleq2s 2177 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑥) ∈ 2𝑜 → ((𝑓𝑥) = ∅ ∨ (𝑓𝑥) = 1𝑜))
8683, 85syl 14 . . . . . . 7 (((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝑓𝑥) = ∅ ∨ (𝑓𝑥) = 1𝑜))
8759, 82, 86mpjaodan 745 . . . . . 6 (((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
8887ex 113 . . . . 5 ((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) → (𝑥𝐶𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}))
8988ssrdv 3014 . . . 4 ((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) → 𝐶 ⊆ {𝐴, 𝐵})
90 prssi 3563 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
9125, 12, 90syl2anc 403 . . . 4 ((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
9289, 91eqssd 3025 . . 3 ((((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2𝑜) → 𝐶 = {𝐴, 𝐵})
934, 92exlimddv 1821 . 2 (((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 = {𝐴, 𝐵})
9493ex 113 1 ((𝐶 ≈ 2𝑜𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵𝐶 = {𝐴, 𝐵}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  w3a 920   = wceq 1285  wex 1422  wcel 1434  wne 2249  wss 2982  c0 3267  {cpr 3417   class class class wbr 3805  wf 4948  1-1wf1 4949  1-1-ontowf1o 4951  cfv 4952  1𝑜c1o 6078  2𝑜c2o 6079  cen 6306
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-suc 4154  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-1o 6085  df-2o 6086  df-en 6309
This theorem is referenced by:  en2eleq  6573  isprm2lem  10705
  Copyright terms: Public domain W3C validator