ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en2other2 GIF version

Theorem en2other2 6574
Description: Taking the other element twice in a pair gets back to the original element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2other2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = 𝑋)

Proof of Theorem en2other2
StepHypRef Expression
1 en2eleq 6573 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})})
2 prcom 3486 . . . . . . 7 {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} = { (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋}
31, 2syl6eq 2131 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑃 = { (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋})
43difeq1d 3099 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = ({ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋} ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}))
5 difprsnss 3543 . . . . 5 ({ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋} ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) ⊆ {𝑋}
64, 5syl6eqss 3058 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) ⊆ {𝑋})
7 simpl 107 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑋𝑃)
8 1onn 6180 . . . . . . . . . 10 1𝑜 ∈ ω
98a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 1𝑜 ∈ ω)
10 simpr 108 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑃 ≈ 2𝑜)
11 df-2o 6086 . . . . . . . . . 10 2𝑜 = suc 1𝑜
1210, 11syl6breq 3844 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑃 ≈ suc 1𝑜)
13 dif1en 6435 . . . . . . . . 9 ((1𝑜 ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1𝑜𝑋𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1𝑜)
149, 12, 7, 13syl3anc 1170 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1𝑜)
15 en1uniel 6372 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1𝑜 (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
16 eldifsni 3537 . . . . . . . 8 ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
1714, 15, 163syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
1817necomd 2335 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋}))
19 eldifsn 3535 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) ↔ (𝑋𝑃𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋})))
207, 18, 19sylanbrc 408 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}))
2120snssd 3550 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → {𝑋} ⊆ (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}))
226, 21eqssd 3025 . . 3 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = {𝑋})
2322unieqd 3632 . 2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = {𝑋})
24 unisng 3638 . . 3 (𝑋𝑃 {𝑋} = 𝑋)
2524adantr 270 . 2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → {𝑋} = 𝑋)
2623, 25eqtrd 2115 1 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = 𝑋)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249  cdif 2979  {csn 3416  {cpr 3417   cuni 3621   class class class wbr 3805  suc csuc 4148  ωcom 4359  1𝑜c1o 6078  2𝑜c2o 6079  cen 6306
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-1o 6085  df-2o 6086  df-er 6193  df-en 6309  df-fin 6311
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator