ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enen2 GIF version

Theorem enen2 6340
Description: Equality-like theorem for equinumerosity. (Contributed by NM, 18-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
enen2 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))

Proof of Theorem enen2
StepHypRef Expression
1 entr 6292 . . 3 ((𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
21ancoms 259 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐴) → 𝐶𝐵)
3 ensym 6289 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 entr 6292 . . . 4 ((𝐶𝐵𝐵𝐴) → 𝐶𝐴)
54ancoms 259 . . 3 ((𝐵𝐴𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
63, 5sylan 271 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
72, 6impbida 536 1 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 102   class class class wbr 3789  cen 6247
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-sep 3900  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ral 2326  df-rex 2327  df-v 2574  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-br 3790  df-opab 3844  df-id 4055  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-er 6134  df-en 6250
This theorem is referenced by:  php5fin  6367  carden2bex  6397
  Copyright terms: Public domain W3C validator