ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ener GIF version

Theorem ener 6347
Description: Equinumerosity is an equivalence relation. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ener ≈ Er V

Proof of Theorem ener
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 6312 . . . 4 Rel ≈
21a1i 9 . . 3 (⊤ → Rel ≈ )
3 bren 6315 . . . . 5 (𝑥𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦)
4 f1ocnv 5190 . . . . . . 7 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑥)
5 vex 2613 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
6 vex 2613 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
7 f1oen2g 6323 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝑓:𝑦1-1-onto𝑥) → 𝑦𝑥)
85, 6, 7mp3an12 1259 . . . . . . 7 (𝑓:𝑦1-1-onto𝑥𝑦𝑥)
94, 8syl 14 . . . . . 6 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑦𝑥)
109exlimiv 1530 . . . . 5 (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑦𝑥)
113, 10sylbi 119 . . . 4 (𝑥𝑦𝑦𝑥)
1211adantl 271 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦𝑥)
13 bren 6315 . . . . 5 (𝑥𝑦 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦)
14 bren 6315 . . . . 5 (𝑦𝑧 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧)
15 eeanv 1850 . . . . . 6 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧))
16 f1oco 5200 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝑦1-1-onto𝑧𝑔:𝑥1-1-onto𝑦) → (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧)
1716ancoms 264 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧)
18 vex 2613 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ V
19 f1oen2g 6323 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ (𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
206, 18, 19mp3an12 1259 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑔):𝑥1-1-onto𝑧𝑥𝑧)
2117, 20syl 14 . . . . . . 7 ((𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
2221exlimivv 1819 . . . . . 6 (∃𝑔𝑓(𝑔:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
2315, 22sylbir 133 . . . . 5 ((∃𝑔 𝑔:𝑥1-1-onto𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦1-1-onto𝑧) → 𝑥𝑧)
2413, 14, 23syl2anb 285 . . . 4 ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧)
2524adantl 271 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥𝑦𝑦𝑧)) → 𝑥𝑧)
266enref 6333 . . . . 5 𝑥𝑥
276, 262th 172 . . . 4 (𝑥 ∈ V ↔ 𝑥𝑥)
2827a1i 9 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ V ↔ 𝑥𝑥))
292, 12, 25, 28iserd 6219 . 2 (⊤ → ≈ Er V)
3029trud 1294 1 ≈ Er V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103  wtru 1286  wex 1422  wcel 1434  Vcvv 2610   class class class wbr 3805  ccnv 4390  ccom 4395  Rel wrel 4396  1-1-ontowf1o 4951   Er wer 6190  cen 6306
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-er 6193  df-en 6309
This theorem is referenced by:  ensymb  6348  entr  6352
  Copyright terms: Public domain W3C validator