ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enm GIF version

Theorem enm 6324
Description: A set equinumerous to an inhabited set is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
enm ((𝐴𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) → ∃𝑦 𝑦𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem enm
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6258 . . . . 5 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
2 f1of 5153 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴𝐵)
3 ffvelrn 5327 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
4 elex2 2587 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑥) ∈ 𝐵 → ∃𝑦 𝑦𝐵)
53, 4syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → ∃𝑦 𝑦𝐵)
65ex 112 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴𝐵 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦 𝑦𝐵))
72, 6syl 14 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦 𝑦𝐵))
87exlimiv 1505 . . . . 5 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦 𝑦𝐵))
91, 8sylbi 118 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦 𝑦𝐵))
109com12 30 . . 3 (𝑥𝐴 → (𝐴𝐵 → ∃𝑦 𝑦𝐵))
1110exlimiv 1505 . 2 (∃𝑥 𝑥𝐴 → (𝐴𝐵 → ∃𝑦 𝑦𝐵))
1211impcom 120 1 ((𝐴𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴) → ∃𝑦 𝑦𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wex 1397  wcel 1409   class class class wbr 3791  wf 4925  1-1-ontowf1o 4928  cfv 4929  cen 6249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-sbc 2787  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-en 6252
This theorem is referenced by:  ssfiexmid  6366  diffitest  6374
  Copyright terms: Public domain W3C validator