Theorem enq0er 7236

Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is an equivalence relation. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0er	⊢ ~Q0 Er (ω × N)

Proof of Theorem enq0er

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enq0 7225	. . . . 5 ⊢ ~Q0 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (ω × N) ∧ 𝑦 ∈ (ω × N)) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑣, 𝑢⟩) ∧ (𝑧 ·o 𝑢) = (𝑤 ·o 𝑣)))}
2	1	relopabi 4660	. . . 4 ⊢ Rel ~Q0
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → Rel ~Q0 )
4		enq0sym 7233	. . . 4 ⊢ (𝑓 ~Q0 𝑔 → 𝑔 ~Q0 𝑓)
5	4	adantl 275	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ~Q0 𝑔) → 𝑔 ~Q0 𝑓)
6		enq0tr 7235	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ~Q0 𝑔 ∧ 𝑔 ~Q0 ℎ) → 𝑓 ~Q0 ℎ)
7	6	adantl 275	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ~Q0 𝑔 ∧ 𝑔 ~Q0 ℎ)) → 𝑓 ~Q0 ℎ)
8		enq0ref 7234	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (ω × N) ↔ 𝑓 ~Q0 𝑓)
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑓 ∈ (ω × N) ↔ 𝑓 ~Q0 𝑓))
10	3, 5, 7, 9	iserd 6448	. 2 ⊢ (⊤ → ~Q0 Er (ω × N))
11	10	mptru 1340	1 ⊢ ~Q0 Er (ω × N)

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331  ⊤wtru 1332  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ⟨cop 3525   class class class wbr 3924  ωcom 4499   × cxp 4532  Rel wrel 4539  (class class class)co 5767   ·_o comu 6304   Er wer 6419  Ncnpi 7073   ~_Q0 ceq0 7087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ni 7105  df-enq0 7225

This theorem is referenced by:  enq0eceq  7238  nqnq0pi  7239  mulcanenq0ec  7246  nnnq0lem1  7247  addnq0mo  7248  mulnq0mo  7249