ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0er GIF version

Theorem enq0er 6591
Description: The equivalence relation for non-negative fractions is an equivalence relation. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0er ~Q0 Er (ω × N)

Proof of Theorem enq0er
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-enq0 6580 . . . . 5 ~Q0 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (ω × N) ∧ 𝑦 ∈ (ω × N)) ∧ ∃𝑧𝑤𝑣𝑢((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑣, 𝑢⟩) ∧ (𝑧 ·𝑜 𝑢) = (𝑤 ·𝑜 𝑣)))}
21relopabi 4491 . . . 4 Rel ~Q0
32a1i 9 . . 3 (⊤ → Rel ~Q0 )
4 enq0sym 6588 . . . 4 (𝑓 ~Q0 𝑔𝑔 ~Q0 𝑓)
54adantl 266 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑓 ~Q0 𝑔) → 𝑔 ~Q0 𝑓)
6 enq0tr 6590 . . . 4 ((𝑓 ~Q0 𝑔𝑔 ~Q0 ) → 𝑓 ~Q0 )
76adantl 266 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑓 ~Q0 𝑔𝑔 ~Q0 )) → 𝑓 ~Q0 )
8 enq0ref 6589 . . . 4 (𝑓 ∈ (ω × N) ↔ 𝑓 ~Q0 𝑓)
98a1i 9 . . 3 (⊤ → (𝑓 ∈ (ω × N) ↔ 𝑓 ~Q0 𝑓))
103, 5, 7, 9iserd 6163 . 2 (⊤ → ~Q0 Er (ω × N))
1110trud 1268 1 ~Q0 Er (ω × N)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wtru 1260  wex 1397  wcel 1409  cop 3406   class class class wbr 3792  ωcom 4341   × cxp 4371  Rel wrel 4378  (class class class)co 5540   ·𝑜 comu 6030   Er wer 6134  Ncnpi 6428   ~Q0 ceq0 6442
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ni 6460  df-enq0 6580
This theorem is referenced by:  enq0eceq  6593  nqnq0pi  6594  mulcanenq0ec  6601  nnnq0lem1  6602  addnq0mo  6603  mulnq0mo  6604
  Copyright terms: Public domain W3C validator