Theorem enqdc 7162

Description: The equivalence relation for positive fractions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enqdc	⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → DECID ⟨𝐴, 𝐵⟩ ~Q ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Proof of Theorem enqdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulclpi 7129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐷) ∈ N)
2		mulclpi 7129	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐶) ∈ N)
3		pinn 7110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ·N 𝐷) ∈ N → (𝐴 ·N 𝐷) ∈ ω)
4		pinn 7110	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ·N 𝐶) ∈ N → (𝐵 ·N 𝐶) ∈ ω)
5		nndceq 6388	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·N 𝐷) ∈ ω ∧ (𝐵 ·N 𝐶) ∈ ω) → DECID (𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶))
6	3, 4, 5	syl2an 287	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·N 𝐷) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐶) ∈ N) → DECID (𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶))
7	1, 2, 6	syl2an 287	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → DECID (𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶))
8	7	an42s 578	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → DECID (𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶))
9		enqbreq 7157	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ~Q ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶)))
10	9	dcbid 823	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → (DECID ⟨𝐴, 𝐵⟩ ~Q ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ DECID (𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶)))
11	8, 10	mpbird 166	1 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → DECID ⟨𝐴, 𝐵⟩ ~Q ⟨𝐶, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 819   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ⟨cop 3525   class class class wbr 3924  ωcom 4499  (class class class)co 5767  Ncnpi 7073   ·_N cmi 7075   ~_Q ceq 7080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-ni 7105  df-mi 7107  df-enq 7148

This theorem is referenced by:  enqdc1  7163