Theorem ensn1g 6277

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ensn1g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1𝑜)

Proof of Theorem ensn1g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3386	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
2	1	breq1d 3774	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ({𝑥} ≈ 1𝑜 ↔ {𝐴} ≈ 1𝑜))
3		vex 2560	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	ensn1 6276	. 2 ⊢ {𝑥} ≈ 1𝑜
5	2, 4	vtoclg 2613	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1𝑜)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  {csn 3375   class class class wbr 3764  1_𝑜c1o 5994   ≈ cen 6219

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-suc 4108  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-1o 6001  df-en 6222

This theorem is referenced by:  enpr1g  6278  en1bg  6280  en2sn  6290  snfig  6291  snnen2og  6322