ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eq0 GIF version

Theorem eq0 3266
Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
eq0 (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem eq0
StepHypRef Expression
1 nfcv 2194 . . 3 𝑥𝐴
2 nfcv 2194 . . 3 𝑥
31, 2cleqf 2217 . 2 (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ ∅))
4 noel 3255 . . . 4 ¬ 𝑥 ∈ ∅
54nbn 625 . . 3 𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ ∅))
65albii 1375 . 2 (∀𝑥 ¬ 𝑥𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ ∅))
73, 6bitr4i 180 1 (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 102  wal 1257   = wceq 1259  wcel 1409  c0 3251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-v 2576  df-dif 2947  df-nul 3252
This theorem is referenced by:  0el  3268  rabeq0  3274  abeq0  3275  ssdif0im  3313  inssdif0im  3318  ralf0  3351  snprc  3462  uni0b  3632  0ex  3911  dm0  4576  reldm0  4580  dmsn0  4815  dmsn0el  4817  fzo0  9125  fzouzdisj  9137
  Copyright terms: Public domain W3C validator