ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqinfti GIF version

Theorem eqinfti 6529
Description: Sufficient condition for an element to be equal to the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
eqinfti.ti ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
Assertion
Ref Expression
eqinfti (𝜑 → ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣   𝑢,𝑅,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐵,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem eqinfti
StepHypRef Expression
1 df-inf 6494 . . 3 inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)
2 eqinfti.ti . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
32cnvti 6528 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
43eqsupti 6505 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))
5 vex 2614 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
6 brcnvg 4565 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶𝐴𝑦 ∈ V) → (𝐶𝑅𝑦𝑦𝑅𝐶))
76bicomd 139 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝐴𝑦 ∈ V) → (𝑦𝑅𝐶𝐶𝑅𝑦))
85, 7mpan2 416 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐴 → (𝑦𝑅𝐶𝐶𝑅𝑦))
98notbid 625 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → (¬ 𝑦𝑅𝐶 ↔ ¬ 𝐶𝑅𝑦))
109ralbidv 2374 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦))
11 brcnvg 4565 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝐶𝐴) → (𝑦𝑅𝐶𝐶𝑅𝑦))
125, 11mpan 415 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐴 → (𝑦𝑅𝐶𝐶𝑅𝑦))
1312bicomd 139 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐴 → (𝐶𝑅𝑦𝑦𝑅𝐶))
14 vex 2614 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
155, 14brcnv 4567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)
1615a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶𝐴 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
1716bicomd 139 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐴 → (𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧))
1817rexbidv 2375 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐴 → (∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
1913, 18imbi12d 232 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → ((𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
2019ralbidv 2374 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → (∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
2110, 20anbi12d 457 . . . . . . 7 (𝐶𝐴 → ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
2221pm5.32i 442 . . . . . 6 ((𝐶𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))) ↔ (𝐶𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
23 3anass 924 . . . . . 6 ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (𝐶𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
24 3anass 924 . . . . . 6 ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (𝐶𝐴 ∧ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
2522, 23, 243bitr4i 210 . . . . 5 ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
2625biimpi 118 . . . 4 ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → (𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
274, 26impel 274 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)
281, 27syl5eq 2127 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)
2928ex 113 1 (𝜑 → ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝐶 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐶𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354  Vcvv 2611   class class class wbr 3806  ccnv 4391  supcsup 6491  infcinf 6492
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-cnv 4400  df-iota 4918  df-riota 5521  df-sup 6493  df-inf 6494
This theorem is referenced by:  eqinftid  6530
  Copyright terms: Public domain W3C validator