ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqle GIF version

Theorem eqle 7269
Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
eqle ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem eqle
StepHypRef Expression
1 leid 7262 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴𝐴)
2 breq2 3797 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐴𝐴𝐵))
32biimpac 292 . 2 ((𝐴𝐴𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
41, 3sylan 277 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3793  cr 7042  cle 7216
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-pre-ltirr 7150
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-cnv 4379  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221
This theorem is referenced by:  eqlei  7271  eqlei2  7272  zletric  8476  zlelttric  8477  zltnle  8478  zleloe  8479  zdcle  8505  qletric  9330  qlelttric  9331  qltnle  9332  resqrexlemcvg  10043  resqrexlemglsq  10046  cjcn2  10292
  Copyright terms: Public domain W3C validator