Theorem eqneg 7887

Description: A number equal to its negative is zero. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
eqneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = -𝐴 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem eqneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1p1times 7309	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
2		negid 7422	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
3		ax-1cn 7131	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	3, 3	addcli 7185	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) ∈ ℂ
5	4	mul01i 7562	. . . 4 ⊢ ((1 + 1) · 0) = 0
6	2, 5	syl6reqr 2133	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 0) = (𝐴 + -𝐴))
7	1, 6	eqeq12d 2096	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 1) · 𝐴) = ((1 + 1) · 0) ↔ (𝐴 + 𝐴) = (𝐴 + -𝐴)))
8		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
9		0cnd 7174	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
10	4	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 1) ∈ ℂ)
11		1re 7180	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
12	11, 11	readdcli 7194	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) ∈ ℝ
13		0lt1 7303	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
14	11, 11, 13, 13	addgt0ii 7659	. . . . 5 ⊢ 0 < (1 + 1)
15	12, 14	gt0ap0ii 7794	. . . 4 ⊢ (1 + 1) # 0
16	15	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 1) # 0)
17	8, 9, 10, 16	mulcanapd 7818	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + 1) · 𝐴) = ((1 + 1) · 0) ↔ 𝐴 = 0))
18		negcl 7375	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
19	8, 8, 18	addcand 7359	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) = (𝐴 + -𝐴) ↔ 𝐴 = -𝐴))
20	7, 17, 19	3bitr3rd 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = -𝐴 ↔ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543  ℂcc 7041  0cc0 7043  1c1 7044   + caddc 7046   · cmul 7048  -cneg 7347   # cap 7748

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749

This theorem is referenced by:  eqnegd  7888  eqnegi  7896