Theorem eqssd 3114

Description: Equality deduction from two subclass relationships. Compare Theorem 4 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 27-Jun-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
eqssd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
eqssd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem eqssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		eqssd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3		eqss 3112	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 413	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ⊆ wss 3071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-11 1484  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-in 3077  df-ss 3084

This theorem is referenced by:  eqrd  3115  eqelssd  3116  unissel  3765  intmin  3791  int0el  3801  pwntru  4122  exmidundif  4129  exmidundifim  4130  dmcosseq  4810  relfld  5067  imadif  5203  imain  5205  fimacnv  5549  fo2ndf  6124  tposeq  6144  tfrlemibfn  6225  tfrlemi14d  6230  tfr1onlembfn  6241  tfri1dALT  6248  tfrcllembfn  6254  dcdifsnid  6400  fisbth  6777  en2eqpr  6801  exmidpw  6802  undifdcss  6811  en2other2  7052  addnqpr  7369  mulnqpr  7385  distrprg  7396  ltexpri  7421  addcanprg  7424  recexprlemex  7445  aptipr  7449  cauappcvgprlemladd  7466  fzopth  9841  fzosplit  9954  fzouzsplit  9956  frecuzrdgtcl  10185  frecuzrdgdomlem  10190  phimullem  11901  structcnvcnv  11975  eltg4i  12224  unitg  12231  tgtop  12237  tgidm  12243  basgen  12249  2basgeng  12251  epttop  12259  ntrin  12293  isopn3  12294  neiuni  12330  tgrest  12338  resttopon  12340  rest0  12348  txdis  12446  hmeontr  12482  xmettx  12679  findset  13143  pwtrufal  13192  pwf1oexmid  13194